La propagazione degli errori nel calcolo scientifico

Gli errori delle misure dirette si propagano nelle misure indirette, cioè quelle ottenute combinando le misure dirette attraverso operazioni matematiche.

L’argomento della propagazione degli errori è cruciale in qualunque contesto scientifico o tecnico, dove si effettuano misure, poiché ogni osservazione sperimentale è inevitabilmente soggetta a incertezze.

Quindi, quando combiniamo le misure attraverso operazioni matematiche per ottenere quantità derivate – le cosiddette misure indirette – anche gli errori delle misure iniziali si propagano, influenzando il risultato finale.

Immaginiamo di voler calcolare l’area di un rettangolo misurando la lunghezza ($x$) e la larghezza ($y$) con un righello. Ogni misura avrà un’incertezza, diciamo $\Delta x$ e $\Delta y$. Quando calcoliamo l’area $A = x \cdot y$, come si rifletteranno queste incertezze sull’errore finale $\Delta A$ dell’area? La risposta sta nelle regole di propagazione degli errori, che descrivono il modo in cui gli errori iniziali si combinano nelle operazioni matematiche.

Regole fondamentali della propagazione degli errori
Un esempio pratico
Perché è importante la propagazione degli errori?

Regole fondamentali della propagazione degli errori

Il modo in cui gli errori si propagano dipende dalla natura delle operazioni (somma, prodotto, divisione, ecc.) e si analizza con regole specifiche di propagazione degli errori.

Somma o sottrazione di misure
Quando sommiamo o sottraiamo quantità misurate, gli errori assoluti si sommano. Ad esempio, se $z = x \pm y$, l’errore associato sarà: $$ \Delta z = \Delta x + \Delta y $$ Questo riflette il fatto che l’incertezza cresce accumulando quelle delle misure individuali.
Ad esempio, per calcolare la lunghezza totale di due bastoni misurati, bisogna considerare l’imprecisione di entrambe le misure.
Moltiplicazione o divisione
Nel caso di un prodotto o un rapporto, la propagazione degli errori è più complessa. In questo caso si sommano gli errori relativi. Se $z = x \cdot y$ o $z = \frac{x}{y}$, allora: $$ \frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y} $$ Dove l’errore relativo è il rapporto tra l’incertezza assoluta e il valore misurato.
Per esempio, calcolando la velocità come $v = \frac{s}{t}$ (spazio diviso tempo), le incertezze nelle misure di $s$ e $t$ contribuiscono entrambe all’incertezza finale.
Moltiplicazione e divisione per una costante k
Quando moltiplichiamo una misura diretta $ x $ per un numero $ k $, l'errore assoluto del calcolo $ z = k \cdot x $ è il prodotto dell'errore assoluto di $ x $ per il valore assoluto della costante $ k $. $$ \Delta z = | k | \cdot \Delta x $$ Quando dividiamo una misura diretta $ x $ per un numero $ k $, invece, l'errore assoluto del calcolo $ z = \frac{x}{k} $ è il quoziente tra l'errore assoluto di $ x $ e il valore assoluto della costante $ k $. $$ \Delta z = \frac{ \Delta x }{ | k |} $$
Potenze
Quando una quantità misurata è elevata a una potenza, come $z = x^n$, l'errore relativo della misura si moltiplica per l’esponente: $$ \frac{\Delta z}{z} = |n| \cdot \frac{\Delta x}{x} $$
Ad esempio, se calcoliamo il volume di una sfera come $V = \frac{4}{3} \pi r^3$, un’incertezza sul raggio $r$ influenzerà il volume con un errore relativo moltiplicato per 3 (l’esponente di $r$).

Un esempio pratico

Supponiamo di avere le seguenti misure della superficie di un tavolo

Lunghezza: $x = 10.0 \pm 0.1 \, \text{cm}$,
Larghezza: $y = 5.0 \pm 0.2 \, \text{cm}$.

Calcoliamo l’area del rettangolo.

$$ A = x \cdot y = 10.0 \cdot 5.0 = 50.0 \, \text{cm}^2 $$

Gli errori relativi delle due misure dirette sono:

$$ \frac{\Delta x}{x} = \frac{0.1}{10.0} = 0.01, \quad \frac{\Delta y}{y} = \frac{0.2}{5.0} = 0.04 $$

In questo caso l'area è il prodotto di due misure dirette.

Pertanto, per ottenere l'errore dobbiamo sommare gli errori relativi delle misure dirette:

$$ \frac{\Delta A}{A} = 0.01 + 0.04 = 0.05 $$

Convertiamo l’errore relativo in errore assoluto.

$$ \Delta A = 0.05 \cdot 50.0 = 2.5 \, \text{cm}^2 $$

Quindi l’area con il suo errore è:

$$ A = 50.0 \pm 2.5 \, \text{cm}^2 $$

Esempio 2

Riprendiamo l'esempio precedente, ma stavolta calcoliamo la somma di due misure, applicando la regola della propagazione degli errori per la somma.

Ad esempio, abbiamo due corde con le seguenti misure dirette:

$x = 10.0 \pm 0.1 \, \text{cm}$,
$y = 5.0 \pm 0.2 \, \text{cm}$.

Dobbiamo calcolare la somma di queste lunghezze $z = x + y$ e l'incertezza associata ($\Delta z$).

Secondo la regola, in una somma gli errori assoluti delle misure dirette si sommano:

$$ \Delta z = \Delta x + \Delta y $$

Sommiamo i valori delle misure dirette:

$$ z = x + y = 10.0 + 5.0 = 15.0 \, \text{cm} $$

Sommiamo gli errori assoluti:

$$ \Delta z = \Delta x + \Delta y = 0.1 + 0.2 = 0.3 \, \text{cm} $$

La misura combinata con l'errore è:

$$ z = 15.0 \pm 0.3 \, \text{cm} $$

Questo significa che il risultato della somma, considerando le incertezze delle misure iniziali, può variare tra $15.0 - 0.3 = 14.7 \, \text{cm}$ e $15.0 + 0.3 = 15.3 \, \text{cm}$.

Esempio 3

Vediamo un esempio pratico di propagazione dell'errore nel caso di una potenza.

Supponiamo di misurare il raggio $r$ di una sfera con:

$$ r = 5.0 \pm 0.1 \, \text{cm} $$

Vogliamo calcolare il volume $V$ della sfera e la sua incertezza $\Delta V$, considerando l'errore sulla misura del raggio $r$.

$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$

Nel nostro caso, $V$ dipende da $r^3$, quindi $n = 3$.

Sostituiamo il valore del raggio nella formula del volume:

$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.0)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125.0 \approx 523.6 \, \text{cm}^3 $$

Ora dobbiamo calcolare l'errore relativo su $r^3$

L'errore relativo sul raggio è:

$$ \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.1}{5.0} = 0.02 $$

Moltiplichiamo per l'esponente $n = 3$:

$$ \frac{\Delta V}{V} = 3 \cdot \frac{\Delta r}{r} = 3 \cdot 0.02 = 0.06 $$

Poi convertiamo l'errore relativo in errore assoluto moltiplicandolo per $V$:

$$ \Delta V = 0.06 \cdot 523.6 \approx 31.4 \, \text{cm}^3 $$

In conclusione, il volume della sfera con il suo errore è:

$$ V = 523.6 \pm 31.4 \, \text{cm}^3 $$

Questo risultato indica che il volume della sfera è compreso tra $ 523.6 - 31.4 = 492.2 \, \text{cm}^3 $ e $ 523.6 + 31.4 = 555.0 \, \text{cm}^3 $.

Questo risultato mostra come un piccolo errore su una misura (il raggio) possa amplificarsi notevolmente, quando la quantità derivata dipende da una potenza.

Esempio 4

Immaginiamo di avere una corda con una lunghezza misurata $L = 10.0 \pm 0.2 \, \text{m}$.

Se la moltiplichiamo per 3, la lunghezza totale sarà:

$$ L_{\text{totale}} = 3 \cdot L = \cdot 10.0 \ \text{m} = 30.0 \ \text{m} $$

Quando si moltiplica una quantità misurata per una costante, l'errore assoluto viene moltiplicato per la stessa costante.

Moltiplichiamo l'errore assoluto $\Delta L = 0.2 \, \text{m}$ per 3:

$$ \Delta L_{\text{totale}} = 3 \cdot 0.2 = 0.6 \, \text{m} $$

La lunghezza totale della corda con l'errore è:

$$ L_{\text{totale}} = 30.0 \pm 0.6 \, \text{m} $$

Il risultato indica che la lunghezza totale della corda può variare tra $ 30.0 - 0.6 = 29.4 \, \text{m} $ e $ 30.0 + 0.6 = 30.6 \, \text{m} $.

Quindi, quando si moltiplica una quantità per una costante, l'errore assoluto cresce nella stessa proporzione.

In questo caso, l'incertezza iniziale di $0.2 \, \text{m}$ è triplicata insieme alla lunghezza.

Perché è importante la propagazione degli errori?

La propagazione degli errori permette di valutare l’affidabilità dei risultati derivati da misure sperimental.

Ci aiuta a capire quanto possiamo fidarci delle conclusioni.

La propagazione degli errori ci ricorda che ogni misura è, in fondo, una stima: non esistono risultati perfetti, ma possiamo quantificare l’incertezza associata e prendere decisioni informate.

Questa consapevolezza non solo migliora la qualità del lavoro sperimentale, ma ci insegna anche l’importanza dell’accuratezza e della trasparenza nel comunicare i risultati scientifici.