Errore relativo

Che cos’è l’errore relativo?

L'errore relativo stima la precisione di una misura e si calcola dividendo l’errore assoluto per il valore misurato. $$
\text{Errore relativo} = \frac{\text{Errore assoluto}}{\text{Valore misurato}} $$ L'errore percentuale è una variante dell'errore relativo, espressa in termini percentuali. $$ \text{Errore percentuale} = \left( \frac{\text{Errore assoluto}}{\text{Valore misurato}} \right) \times 100 $$

Nelle scienze e nelle misurazioni, ottenere risultati accurati è fondamentale.

Tuttavia, ogni misurazione comporta un margine d'errore, che può essere espresso in diversi modi.

Ad esempio, l'errore assoluto, l'errore relativo e l'errore percentuale sono strumenti chiave per valutare la precisione di una misura.

L'errore assoluto, ossia la differenza tra il valore misurato e il valore reale, non è sempre sufficiente per comprendere la precisione della misurazione.

$$ x = \bar{x} \pm e_x $$

Dove $ \bar{x} $ è il valore misurato o il valore medio delle misurazioni, mentre $ e_x $ è l'errore assoluto.

Per avere una stima più significativa della precisione, si calcola l'errore relativo.

$$ \epsilon_x = \frac{ e_x }{ \bar{x} } $$

Quando l'errore relativo è un numero molto piccolo, significa che l'errore ha un peso ridotto, e quindi la misura è più precisa.

Perché l'errore relativo è preferibile? L’errore relativo è una quantità adimensionale, poiché si tratta del rapporto tra due grandezze con le stesse unità di misura. Non dipende dall'unità di misura, né dall'ordine di grandezza dei valori misurati. Questo lo rende molto utile per confrontare la precisione di misurazioni di grandezze diverse.

Un esempio 

Immagina di dover misurare la lunghezza di un ponte.

Effettuando due misurazioni, ottieni risultati leggermente diversi: 149,5 m e 150,5 m.

La media di queste misure ti fornisce una stima della lunghezza del ponte:

$$ \bar{x} = \frac{149.5 + 150.5}{2} = 150 \ m $$

L’errore assoluto, che rappresenta la differenza media rispetto al valore centrale, risulta quindi di 0,5 metri:

$$ e_x = \frac{150.5 - 149.5}{2} = 0.5 \ m $$

Questo indica che la reale lunghezza del ponte è compresa tra i valori estremi delle misure effettuate, ovvero:

$$ x = \bar{x} \pm e_x $$

$$ x = 150 \pm 0.5 \ m $$

A questo punto, possiamo calcolare l'errore relativo per determinare la precisione della misura rispetto al valore medio:

$$ \epsilon_x = \frac{e_x}{ \bar{x}} $$

$$ \epsilon_x = \frac{0.5}{ 150} = 0.0033 $$

L'errore relativo ci offre un indicatore della precisione reale della misurazione e consente di confrontare questa precisione con altre misurazioni, anche di grandezze diverse.

L'errore percentuale si ottiene semplicemente moltiplicando l'errore assoluto per 100. In questo caso è 0.33% $$ \epsilon_x = \frac{0.5}{ 150} \cdot 100 = 0.33 \ \% $$

Esempio 2

Per approfondire il concetto dell’errore relativo, prendiamo un esempio pratico in cui misuriamo la lunghezza di un ponte e il diametro di un tubo.

Abbiamo i seguenti dati:

• Lunghezza del ponte: \( L = (150,0 \pm 0,5) \, \text{m} \)
• Diametro del tubo: \( d = (0,8 \pm 0,02) \, \text{m} \)

La lunghezza del ponte ha un errore assoluto di 0,5 metri, mentre il diametro del tubo ha un errore assoluto di 0,02 metri.

Apparentemente la misura del diametro del tubo sembra più precisa, perché l'errore assoluto è più piccolo, ma non è così!

Calcoliamo l’errore relativo per ciascuna di queste misure:

• L'errore relativo della lunghezza del ponte è 0,0033 $$ \varepsilon_L = \frac{0,5}{150,0} \approx 0,0033 $$
• L'errore relativo del diametro del tubo è 0,025 $$ \varepsilon_d = \frac{0,02}{0,8} \approx 0,025 $$

Confrontando questi risultati, notiamo che l’errore relativo della misura del ponte (0,0033) è molto più piccolo rispetto a quello del diametro del tubo (0,025), anche se l’errore assoluto del ponte è di 0,5 m mentre quello del tubo è di soli 0,02 m.

Quindi, nonostante il ponte abbia un errore assoluto maggiore, la sua misura risulta più precisa rispetto a quella del tubo quando consideriamo il rapporto tra l’errore e la grandezza misurata, cioè l'errore relativo.

Questo confronto dimostra come l’errore assoluto da solo non è sufficiente a valutare la precisione della misura.

L’errore relativo, invece, ti permette di andare oltre la semplice differenza tra valore misurato e valore reale.

Grazie a questa misura adimensionale, puoi confrontare con precisione anche valori molto diversi tra loro, dall’estensione di un ponte allo spessore di un tubo.