Il risultato di una misura

Quando effettui una misura su una qualsiasi grandezza fisica, non ottieni mai il “valore vero” in senso assoluto, ma solo una stima di questo valore, affetta da una certa incertezza.

È per questa ragione che ogni misura viene espressa come un intervallo di valori, indicando sia il risultato della misura sia l’errore associato.

$$ x = x \pm e_x $$

Questa forma di espressione ti permette di comprendere che, con buona probabilità, il valore reale di \( x \) si trova in un intervallo compreso tra \( x - e_x \) e \( x + e_x \).

Come si stabilisce il valore attendibile e l’incertezza? Il procedimento cambia a seconda se hai a disposizione una singola misura oppure più misure ripetute della stessa grandezza.

Caso di una singola misura

Quando hai a disposizione una sola misura, il procedimento per stabilire il valore attendibile e l'incertezza è molto semplice:

• Il valore attendibile della grandezza è semplicemente il valore misurato.
• L’errore assoluto è determinato dalla sensibilità dello strumento di misura, che rappresenta la minima variazione che lo strumento è in grado di rilevare.

Ti faccio un esempio pratico.

Supponi di voler misurare la massa di una persona.

In questo caso lo strumento è una bilancia che, ad esempio, ha una sensibilità di 0,1 kg, ovvero la minima variazione che la bilancia può misurare e una portata di 200 kg, cioè il massimo valore che può misurare.

Se la bilancia indica un valore di 74,0 kg, allora:

• Il valore attendibile della massa è 56,0 kg;
• L’errore assoluto è dato dalla sensibilità dello strumento, quindi \( e_x = 0,1 \) kg.

Quindi, il risultato finale della misura sarà espresso come:

$$ x = (74,0 \pm 0,1) \text{ kg} $$

Questo significa che, con buona probabilità, la massa reale della persona è compresa tra:

$$ (74,0 - 0,1) \ \text{ kg} \lt x \lt  (74,0 + 0,1) \ \text{ kg} $$

$$ 73,9 \ \text{ kg} \lt x \lt  74,1 \ \text{ kg} $$

Quindi, misurare una grandezza fisica significa ottenere un valore che rappresenti nel miglior modo possibile la realtà, ma che sia accompagnato da un’indicazione sulla sua precisione.

L'incertezza associata ad una misura è un aspetto essenziale per comprenderne l’affidabilità: più piccolo è l’errore, maggiore è la precisione. Il processo di misura, pur nella sua semplicità, rappresenta un modo per avvicinarsi alla realtà con la consapevolezza che, in fisica come nella vita, esiste sempre una certa dose di incertezza.

Il caso di più misure

Quando misuri una stessa grandezza più volte, è normale ottenere valori leggermente diversi a causa di piccole variazioni accidentali o fluttuazioni.

In questo caso, il valore attendibile della grandezza è dato dalla media aritmetica dei valori misurati.

Supponi di aver effettuato \( n \) misure, i cui valori sono \( x_1, x_2, \ldots, x_n \); il valore medio, indicato come \( \bar{x} \), si calcola con la formula:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} $$

L'errore assoluto, invece, non sarà più dato semplicemente dalla sensibilità dello strumento, ma dipenderà anche dalla dispersione dei valori misurati.

Per stimare l’errore in una serie di misure ripetute, si usa la deviazione standard della media. Questa è una misura della variabilità dei dati rispetto al valore medio e si calcola come:

$$ s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n - 1}} $$

Dove \( x_i \) rappresenta ciascuna misura e \( \bar{x} \) la media.

Si può calcolare l'errore standard della media (\( e_x \)) dato da:

$$ e_x = \frac{s}{\sqrt{n}} $$

Questo valore rappresenta l’incertezza associata alla media delle misure ed è tanto più piccolo quanto più è grande il numero di misurazioni \( n \).

Esempio pratico

Supponi di misurare la lunghezza di un oggetto ripetendo l’operazione cinque volte, ottenendo i seguenti risultati:

\( 10,2 \) cm, \( 10,3 \) cm, \( 10,2 \) cm, \( 10,4 \) cm e \( 10,1 \) cm.

Procedi così. Dapprima calcola il valore medio dei risultati:

$$ \bar{x} = \frac{10,2 + 10,3 + 10,2 + 10,4 + 10,1}{5} = 10,24 \, \text{cm} $$

Poi calcola la deviazione standard (\( s \)):

$$ s = \sqrt{\frac{(10,2 - 10,24)^2 + (10,3 - 10,24)^2 + (10,2 - 10,24)^2 + (10,4 - 10,24)^2 + (10,1 - 10,24)^2}{5 - 1}} $$

Dopo aver svolto i calcoli, ottieni un valore di \( s \) di circa \( 0,1 \) cm.

$$ s = 0,1 \ cm $$

In questo caso l'errore standard della media è il seguente:

$$ e_x = \frac{s}{\sqrt{5}} \approx \frac{0,1}{\sqrt{5}} \approx 0,045 \, \text{cm} $$

Il risultato finale della misura, considerando l'errore, sarà quindi:

$$ x = (10,24 \pm 0,045) \, \text{cm} $$

Questo significa che, con buona probabilità, la lunghezza reale dell’oggetto è compresa tra \( 10,24 - 0,045 = 10,195 \) cm e \( 10,24 + 0,045 = 10,285 \) cm.

La media aritmetica delle misure fornisce il valore attendibile, mentre la deviazione standard della media rappresenta l’incertezza associata al risultato.

Nota che quando effettui più misurazioni ripetute della stessa grandezza fisica, il calcolo del valore attendibile e dell’incertezza ti permette di ottenere una stima ancora più precisa del valore reale. Questo accade perché la ripetizione dei risultati riduce l’incertezza associata alla misura dovuta agli errori casuali..

In conclusione, misurare ripetutamente una grandezza è più complesso ma ti permette di ottenere un valore più affidabile.

Questo diventa particolarmente utile se vuoi ottenere una precisione maggiore.