Gli errori di arrotondamento in fisica
Gli errori di arrotondamento si verificano quando i numeri vengono arrotondati a un certo numero di cifre significative in momenti diversi del processo di calcolo, causando leggere differenze tra il risultato ottenuto e quello atteso.
Sono una problematica comune quando si effettuano calcoli numerici, specialmente in ambito scientifico o ingegneristico.
Quindi, l’errore non è necessariamente un errore nei passaggi o nelle operazioni matematiche eseguite, ma può semplicemente derivare dalla scelta del momento e del grado di arrotondamento ovvero dal numero di cifre significative utilizzate durante i calcoli.
Questo porta a imprecisioni cumulative, soprattutto nei calcoli complessi o in sequenza. In particolare:
- Errori cumulativi: ogni operazione che arrotonda aumenta l’errore totale, poiché ogni risultato intermedio è meno preciso del valore reale. In processi iterativi, questo errore può diventare significativo.
- Arrotondamenti errati nei numeri molto grandi o molto piccoli: l’uso di notazioni scientifiche con arrotondamenti inaccurati può portare a valori distorti, soprattutto per calcoli di ordini di grandezza elevati.
- Propagazione degli errori: gli errori di arrotondamento si propagano nei risultati finali, influenzando la precisione delle misure, specialmente se coinvolgono molte operazioni.
Per minimizzare questi errori, è consigliabile usare più cifre significative possibile nei calcoli intermedi e arrotondare solo nel risultato finale.
Un esempio pratico
Per comprendere meglio il fenomeno, considero l'esempio pratico dell’acquisto di benzina:
Supponiamo che il prezzo al litro della benzina sia 1,997 €, un valore espresso fino ai millesimi di euro.
Se devi acquistare 7 litri di benzina, puoi fare un rapido calcolo a mente arrotondando il prezzo unitario a 2,00 €/L (al centesimo) e calcolare la spesa totale:
$$ \text{spesa} = 2,00 \, \text{€/L} \times 7,0 \, \text{L} = 14,00 \, \text{€} $$
Tuttavia, l’erogatore di benzina effettua il calcolo utilizzando il prezzo in millesimi di euro e arrotonda il risultato finale. Seguendo questa procedura la spesa reale è la seguente:
$$ \text{spesa} = 1,997 \, \text{€/L} \times 7,0 \, \text{L} = 13,979 \, \text{€} \approx 13,98 \, \text{€} $$
Questa differenza di 2 centesimi tra i due risultati rappresenta un tipico errore di arrotondamento dovuto al momento in cui viene applicato l’arrotondamento: una volta al prezzo unitario e l'altra al totale.
Questo tipo di errore è comune non solo nei calcoli quotidiani, ma anche in discipline come la fisica o l'ingegneria, dove l'accuratezza dei risultati può dipendere dal numero di cifre significative utilizzate in ciascun passaggio.
Gli errori di arrotondamento nella pratica scientifica
Nel calcolo scientifico arrotondare troppo presto un valore intermedio può accumulare piccoli errori che, sommati, portano a discrepanze significative.
Un buon consiglio per limitare questi errori è mantenere una o due cifre significative in più durante i calcoli intermedi e arrotondare solo il risultato finale.
Questo accorgimento ti permette di ridurre al minimo gli errori di arrotondamento, migliorando la precisione complessiva del risultato.
Un esempio
Supponiamo che un terreno a forma rettangolare abbia una lunghezza di 12,37 metri e una larghezza di 5,82 metri, e vuoi calcolare il perimetro per stimare il costo di una recinzione, sapendo che il prezzo della recinzione è 3,45 €/metro.
Il perimetro di un rettangolo si calcola con la formula:
$$ \text{Perimetro} = 2 \times (\text{lunghezza} + \text{larghezza}) $$
$$ \text{Perimetro} = 2 \times (12,37 + 5,82) = 2 \times 18,19 = 36,38 \, \text{metri} $$
Ora calcola il costo della recinzione utilizzando il perimetro calcolato:
$$ \text{Costo} = 36,38 \, \text{m} \times 3,45 \, \text{€/m} = 125,511 \, \text{€} $$
Infine, arrotonda il risultato finale ai centesimi di euro per renderlo più realistico:
$$ \text{Costo} \approx 125,51 \, \text{€} $$
Questo è un modo corretto di procedere per ridurre l'errore dovuto all'arrotondamento.
Vediamo ora cosa succede se arrotondiamo le misure della lunghezza e della larghezza ai decimi già nei passaggi intermedi. Prova ad arrotondare la lunghezza ≈ 12,4 m e la larghezza ≈ 5,8 m. Poi calcola il perimentro usando la stessa formula. $$ \text{Perimetro} = 2 \times (12,4 + 5,8) = 2 \times 18,2 = 36,4 \, \text{metri} $$ In questo caso, il costo per realizzare la recinzione è $$ \text{Costo} = 36,4 \, \text{m} \times 3,45 \, \text{€/m} = 125,58 \, \text{€} $$ Come puoi notare, c'è una differenza di 7 centesimi (125,51 € contro 125,58 €) rispetto al risultato ottenuto senza arrotondamenti intermedi. Questa discrepanza è un tipico esempio di errore di arrotondamento, causato dall’approssimazione anticipata delle dimensioni del rettangolo.
Questo esempio evidenzia come gli arrotondamenti effettuati in fasi intermedie dei calcoli possano portare a differenze nel risultato finale.
Pertanto, in applicazioni pratiche dove la precisione è importante, è preferibile posticipare gli arrotondamenti il più possibile, mantenendo più cifre significative durante i calcoli intermedi per ridurre l’impatto di questi errori.
