La categoria di tutte le categorie

La categoria di tutte le categorie non esiste a causa del paradosso di Russell.

Definire una categoria che include tutte le possibili categorie porta a contraddizioni logiche, simili a quelle generate dal ben noto "insieme di tutti gli insiemi che non include se stesso".

Secondo il famoso paradosso di Russell, l'insieme di tutti gli insiemi $ U $ ha come elementi tutti gli insiemi esistenti.

Questo però porta a domandarsi: l'insieme di tutti gli insiemi $ U $ contiene anche se stesso come elemento?

Le risposte possibili sono due:

Si, l'insieme $ U $ contiene se stesso come elemento/membro. Tuttavia, questo non è possibile perché nessun elemento contiene se stesso ovvero ha come elemento se stesso.
No, l'insieme $ U $ non contiene se stesso. Questo però crea un'altra contraddizione perché, essendo l'insieme di tutti gli insiemi, dovrebbe contenere anche se stesso.

In entrambi i casi, la risposta porta a una contraddizione. Questo dimostra che l'idea di un insieme di tutti gli insiemi porta a problemi logici.

Analogamente, nel contesto delle categorie, l'idea di avere una "categoria di tutte le categorie" crea una situazione simile.

La categoria di tutte le categorie dovrebbe contenere anche se stessa ma questo non è ammissibile.

Quindi, la definizione stessa della categoria di tutte le categorie porterebbe a riferirsi a se stessa in modi che non sono ammissibili senza introdurre contraddizioni.

Questo dimostra che alcune costruzioni teoriche sono troppo ampie per essere gestite senza problemi all'interno di una teoria matematica ben definita e coerente come quella delle categorie.

Domande/Risposte

Ogni insieme ha come sottoinsieme improprio se stesso, quindi contiene se stesso?
No, il concetto di un insieme che contiene se stesso può generare confusione a causa delle distinzioni tra appartenenza e inclusione, che sono due relazioni fondamentalmente diverse. È essenziale mantenere queste distinzioni ben definite. Quando si afferma che 'un insieme contiene se stesso', si fa riferimento all'appartenenza di un elemento all'interno dell'insieme.
Ad esempio, nell'insieme di tutti gli insiemi $ U $ gli elementi sono stessi insiemi A, B, C,.... Quindi, si può dire che $ A \in U $ dove sia A che U sono insiemi ma A è un elemento di U. Tuttavia non si può dire che l'insieme U sia un elemento di se stesso $ U \in U $ perché sarebbe errato. D'altra parte, dire che 'ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso' implica un'operazione di inclusione $ A \subseteq B $ e ogni insieme ha come sottoinsieme improprio anche se stesso $ A \subseteq A $. Queste due affermazioni descrivono relazioni diverse e hanno implicazioni diverse nel campo della teoria degli insiemi."