Ogni insieme ha come sottoinsieme improprio se stesso, quindi contiene se stesso?

No, il concetto di un insieme che contiene se stesso può portare a confusione a causa delle differenze tra appartenenza e inclusione. Sono due relazioni diverse ed è importante mantenere chiare le distinzioni tra questi due concetti.

Dire che un insieme "contiene se stesso" si riferisce all'appartenenza di un elemento all'insieme e nell'insieme di tutti gli insiemi gli elementi sono insiemi, mentre affermare che "ogni insieme ha se stesso come sottoinsieme", invece, si riferisce all' inclusione di un insieme all'interno di un altro insieme.

• Appartenenza (\(\in\)): Un elemento \(a\) appartiene a un insieme \(A\) se \(a \in A\). Questo non implica che \(A\) contiene altri insiemi come membri, a meno che non sia specificamente definito in tal modo.
• Inclusione (\(\subseteq\)): Un insieme \(B\) è un sottoinsieme di un insieme \(A\) se ogni elemento di \(B\) è anche un elemento di \(A\). Questo è noto come inclusione propria o impropria. L'inclusione impropria si riferisce al caso in cui \(B\) è esattamente \(A\), quindi \(B \subseteq A\) e potrebbe essere \(B = A\).

Quando dici che "ogni insieme ha come sottoinsieme improprio se stesso", stai correttamente indicando un caso di inclusione impropria (\(A \subseteq A\)).

Tuttavia, questo non significa che un insieme "contiene se stesso" nel senso di appartenenza (\(A \in A\)), il che sarebbe una struttura più complicata e atipica negli insiemi standard usati in matematica.

Il paradosso di Russell gioca proprio su questa distinzione. Esplora cosa succede quando si tenta di definire un insieme di tutti gli insiemi che non si contengono come membri (appartenenza), non come sottoinsiemi. La costruzione di un insieme di tutti gli insiemi conduce a una contraddizione logica, poiché nessun insieme può contenere se stesso come membro, quindi per definizione non dovrebbe essere un insieme. Per essere un insieme non dovrebbe contenere se stesso, ma se così fosse non sarebbe l'insieme di tutti gli insiemi esistenti.

In conclusione, dire che un insieme "contiene se stesso" si riferisce all'appartenenza mentre affermare che "ogni insieme ha se stesso come sottoinsieme" si riferisce all' inclusione, che sono relazioni diverse