Insieme di tutti i morfismi di una categoria

L'insieme di tutti i morfismi $ \text{mor}(\mathcal{C}) $ è l'insieme che include ogni morfismo tra qualsiasi coppia di oggetti in $ \mathcal{C} $ di una categoria $ \mathcal{C} $,

Formalmente, l'insieme di tutti i morfismi di una categoria può essere espresso come:

\[ \text{mor}(\mathcal{C}) = \bigcup_{(A, B) \in \text{Ob}(\mathcal{C}) \times \text{Ob}(\mathcal{C})} \text{Hom}(A, B) \]

Dove $ \text{Ob}(\mathcal{C}) $ rappresenta l'insieme di tutti gli oggetti nella categoria $ \mathcal{C} $ e $ \text{Hom}(A, B) $ è l'insieme di tutti i morfismi da $ A $ a $ B $.

L'insieme $ \text{mor}(\mathcal{C}) $ include tutti i morfismi possibili tra gli oggetti della categoria, compresi gli endomorfismi e le identità per ogni oggetto.

Identità
Per ogni oggetto $ A $ in $ \mathcal{C} $, esiste un morfismo identità $ \text{id}_A \in \text{Hom}(A, A) $ che è incluso in $ \text{mor}(\mathcal{C}) $.
Composizione di morfismi
L'insieme $ \text{mor}(\mathcal{C}) $ include morfismi che possono essere composti secondo le regole di composizione della categoria, rispettando l'associatività e l'identità.

A seconda della grandezza della categoria C, l'insieme di tutti i morfismi Mor(C) può essere un insieme o una classe propria:

Insieme: Se la categoria è "piccola", cioè se la collezione di tutti gli oggetti e morfismi può essere raccolta in un singolo insieme secondo le regole della teoria degli insiemi, allora Mor(C) è un insieme.
Classe propria: Per categorie "grandi", dove gli oggetti o i morfismi sono troppo numerosi per formare un insieme (come la categoria di tutti gli insiemi, dove ogni insieme è un oggetto e ogni funzione possibile tra insiemi è un morfismo), Mor(C) è una classe propria.

Quando in una categoria C sia la classe dei morfismi Mor(C) che la classe degli oggetti Obj(C) sono insiemi si parla di "piccola categoria".

La struttura di Mor(C) è cruciale per l'analisi della categoria, perché offre un quadro generale per esaminare tutte le relazioni tra gli oggetti, studiare le proprietà strutturali della categoria, e esplorare le dinamiche interne come le simmetrie e le trasformazioni. Inoltre, permette ai matematici di applicare le proprietà della categoria per risolvere problemi che appartengono ad altre discipline.

Esempio

Vediamo un esempio di una categoria $ \mathcal{C} $ con tre oggetti $ A $, $ B $, e $ C $, e tre morfismi $ f $, $ g $, e $ h $ che permettono composizioni interessanti.

Assiamo che ogni morfismo colleghi diversi oggetti in modo da permettere composizioni significative.

In questa categoria ci sono tre insiemi:

$$ Obj(C) = \{A, B, C \} $$

Nella categoria ci sono anche tre morfismi:

$ f: A \to B $ - Un morfismo da $ A $ a $ B $.
$ g: B \to C $ - Un morfismo da $ B $ a $ C $.
$ h: A \to C $ - Un morfismo diretto da $ A $ a $ C $.

I tre morfismi ci permettono di creare una composizione di morfismi tra $ f $ e $ g $ per formare un nuovo morfismo:

$ g \circ f: A \to C $

Questo è il morfismo risultante dalla composizione di $ f $ con $ g $, mappando $ A $ direttamente a $ C $ attraverso $ B $.

Oltre a questi, dobbiamo anche considerare che ogni oggetto nella categoria ha un morfismo identità:

$ \text{id}_A: A \to A $
$ \text{id}_B: B \to B $
$ \text{id}_C: C \to C $

Considerando tutti gli elementi che abbiamo definito, l'insieme di tutti i morfismi nella categoria $ \mathcal{C} $ includere:

I morfismi diretti $ f $, $ g $, e $ h $.
Una composizione $ g \circ f $.
Le identità $ \text{id}_A $, $ \text{id}_B $, e $ \text{id}_C $.

Quindi, $ \text{mor}(\mathcal{C}) $ è composto dai seguenti elementi:

$$ \text{mor}(\mathcal{C}) = \{ f, g, h, g \circ f, \text{id}_A, \text{id}_B, \text{id}_C \} $$

In questa esempio abbiamo creato una categoria molto semplice che mostra chiaramente come è composto l'insieme di tutti i morfismi di una categoria.