Mintermini
Un mintermine è un termine prodotto (AND) che coinvolge tutte le variabili di ingresso $ x_i $ di una funzione booleana in una forma che non può essere ulteriormente semplificata e che rende la funzione vera (y=1), dove ogni variabile di ingresso è presente in forma diretta $ x_i $ se è 1 o in forma negata (complementata) $ \overline{x_i} $ se è 0.
Per esprimere questo concetto in termini pratici, possiamo immaginare una funzione booleana come una mappa che determina l'uscita di un sistema basato su determinati ingressi di "vero" (1) o "falso" (0).
Esempio
Abbiamo una funzione booleana di tre variabili: $ x_1 $, $ x_2 $, e $ x_3 $.
$$ y = f(x_1,x_2,x_3) $$
Dove le variabili $ x_1 , x_2 , x_3 $ sono gli ingressi e la variabile $ y $ è l'uscita della funzione.
Supponiamo per ipotesi che la tavola di verità di questa funzione sia la seguente:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
m & x_1 & x_2 & x_3 & y & \\
\hline
m_1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \overline{x_1} \overline{x_2} \overline{x_3} \\
m_2 & 0 & 0 & 1 & 0 & \overline{x_1} \overline{x_2} x_3 \\
m_3 & 0 & 1 & 0 & 0 & \overline{x_1} x_2 \overline{x_3} \\
m_4 & 0 & 1 & 1 & 1 & \overline{x_1} x_2 x_3 \\
m_5 & 1 & 0 & 0 & 0 & x_1 \overline{x_2} \overline{x_3} \\
m_6 & 1 & 0 & 1 & 1 & x_1 \overline{x_2} x_3 \\
m_7 & 1 & 1 & 0 & 1 & x_1 x_2 \overline{x_3} \\
m_8 & 1 & 1 & 1 & 0 & x_1 x_2 x_3 \\
\hline
\end{array} $$
I mintermini sono le righe che generano y=1 come valore di uscita della funzione:
In questo caso, le combinazioni di input che rendono vera (y=1) la funzione booleana f(x1,x2,x3) sono la prima ( $ m_1 $ ), la quarta ( $ m_4 $ ), la sesta ( $ m_6 $ ) e la settima ( $ m_7 $ ).
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
m & x_1 & x_2 & x_3 & y & \\
\hline
m_1 & 0 & 0 & 0 & \color{red}1 & \overline{x_1} \overline{x_2} \overline{x_3} \\
m_2 & 0 & 0 & 1 & 0 & \overline{x_1} \overline{x_2} x_3 \\
m_3 & 0 & 1 & 0 & 0 & \overline{x_1} x_2 \overline{x_3} \\
m_4 & 0 & 1 & 1 & \color{red}1 & \overline{x_1} x_2 x_3 \\
m_5 & 1 & 0 & 0 & 0 & x_1 \overline{x_2} \overline{x_3} \\
m_6 & 1 & 0 & 1 & \color{red}1 & x_1 \overline{x_2} x_3 \\
m_7 & 1 & 1 & 0 & \color{red}1 & x_1 x_2 \overline{x_3} \\
m_8 & 1 & 1 & 1 & 0 & x_1 x_2 x_3 \\
\hline
\end{array} $$
I mintermini sono i prodotti delle variabili nelle righe dove \( y \) è 1:
$$ m_1 = \overline{x_1} \cdot \overline{x_2} \cdot \overline{x_3} $$
$$ m_4 = \overline{x_1} \cdot x_2 \cdot x_3 $$
$$ m_6 = x_1 \cdot \overline{x_2} \cdot x_3 $$
$$ m_7 = x_1 \cdot x_2 \cdot \overline{x_3} $$
Ogni minterm corrisponde a una riga della tabella in cui l'output è 1, e utilizza la forma negata della variabile $ \neg{x_i} $ se la variabile $ x_i = 0 $ è falsa, o la forma diretta $ x_i $ se la variabile $ x_i = 1 $ è vera.
La somma dei mintermini rappresenta la forma canonica della funzione in somma di prodotti.
$$ y = m_1 + m_4 + m_6 + m_7 $$
La somma dei mintermini è nota anche come "forma canonica disgiuntiva" o "forma normale disgiuntiva" (Disjunctive Normal Form, DNF). Questo termine si riferisce alla rappresentazione standard di una funzione booleana come somma (disgiunzione logica) di prodotti (congiunzioni logiche) delle variabili di input.
In modo più esplicito, sostituendo i mintermini con le loro espressioni in termini delle variabili booleane, avremmo:
$$ y = \overline{x_1} \cdot \overline{x_2} \cdot \overline{x_3} + \overline{x_1} \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot \overline{x_2} \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot \overline{x_3} $$
Il simbolo della moltiplicazione possiamo ometterlo per semplicità.
$$ y = \overline{x_1} \overline{x_2} \overline{x_3} + \overline{x_1} x_2 x_3 + x_1 \overline{x_2} x_3 + x_1 x_2 \overline{x_3} $$
Questa somma di mintermini descrive gli stati che rendono "vera" (y=1) la funzione booleana f(x1,x2,x3).
I mintermini sono particolarmente utili nella sintesi dei circuiti logici, poiché forniscono una rappresentazione diretta delle condizioni di ingresso che attivano un dispositivo.
I mintermini possono essere rappresentati e manipolati in vari modi, come tramite mappe di Karnaugh o diagrammi di Veitch, che sono strumenti grafici utilizzati per semplificare le funzioni booleane. Questi metodi aiutano a visualizzare le relazioni tra differenti variabili e a trovare la forma più semplice di una funzione, riducendo il numero di componenti necessari per costruire un circuito.
