Le proprietà dell'algebra booleana

Le proprietà fondamentali dell'algebra booleana permettono di semplificare le espressioni booleane e aiutano a migliorare l'efficienza dei sistemi che si basano sulla logica booleana.

Ecco le principali proprietà delle operazioni booleane:

1. Idempotenza
   L'operazione ripetuta con lo stesso operando e operatore, sia AND che OR, non altera il risultato.
    \( A \land A = A \)
    \( A \lor A = A \)

   Esempio. Se prendiamo \( A = 1 \), osserviamo che: $$ A \land A = 1 \land 1 = 1 $$ $$ A \lor A = 1 \lor 1 = 1 $$ La proprietà dell'idempotenza ci mostra che operare su \( A \) con lo stesso operatore non cambia il risultato.

2. Associatività
   Questa proprietà permette di raggruppare le operazioni in modi diversi senza influenzare l'esito finale, facilitando la combinazione di molteplici operazioni.
   \( (A \land B) \land C = A \land (B \land C) \)
   \( (A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C) \)

   Esempio. Fissiamo \( A = 1 \), \( B = 0 \), e \( C = 1 \). Guardiamo l'associatività: $$ (A \land B) \land C = (1 \land 0) \land 1 = 0 \land 1 = 0 $$ $$ A \land (B \land C) = 1 \land (0 \land 1) = 1 \land 0 = 0 $$ In altre parole, associare prima \( A \) e \( B \) o \( B \) e \( C \) non cambia il risultato; l'ordine di associazione non conta.

3. Commutatività
   L'ordine degli operandi non incide sul risultato dell'operazione.
   \( A \land B = B \land A \)
   \( A \lor B = B \lor A \)

   Esempio. Con \( A = 1 \) e \( B = 0 \): $$ A \land B = 1 \land 0 = 0 $$ $$ B \land A = 0 \land 1 = 0 $$ La commutatività ci conferma che l'ordine degli operandi non influisce sul risultato finale dell'operazione.

4. Elemento neutro
   L'elemento "vero" (1) agisce come neutro per l'AND, mentre il "falso" (0) è l'elemento neutro per l'OR.
   \( A \land 1 = A \)
   \( A \lor 0 = A \)

   Esempio. Se $ A = 1 $  $$ A \land 1 = 1 \land 1 = 1 $$ $$ A \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 $$

5. Legge di complemento
   L'operazione tra un elemento $ A $ e la sua negazione $ \neg A $ restituisce falso (0) per AND e vero (1) per OR.
   \( A \land \neg A = 0 \)
   \( A \lor \neg A = 1 \)

   Esempio. Se consideriamo \( A \) con valore 1. $$ A \land \neg A = 1 \land 0 = 0 $$ $$ A \lor \neg A = 1 \lor 0 = 1  $$

6. Leggi di De Morgan
   Queste leggi sono cruciali per convertire espressioni complesse in forme più semplici, soprattutto quando si tratta di negare combinazioni di espressioni.
   \( \neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B \)
   \( \neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B \)

   Esempio. Se \( A = 1 \) e \( B = 0 \): $$ \neg (A \land B) = \neg (1 \land 0) = \neg 0 = 1 $$ $$ \neg (A \lor B) = \neg (1 \lor 0) = \neg 1 = 0 $$ Queste leggi ci permettono di trasformare le negazioni delle operazioni in altre espressioni booleane equivalenti ma più gestibili.

7. Distributività
   Questa proprietà consente di espandere le espressioni in modi equivalenti, analogamente a quanto avviene con la distribuzione nell'algebra tradizionale.
   \( A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C) \)
   \( A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C) \)

   Esempio. Se \( A = 1 \), \( B = 1 \), e \( C = 0 \): $$ A \land (B \lor C) = 1 \land (1 \lor 0) = 1 \land 1 = 1 $$ $$ A \lor (B \land C) = 1 \lor (1 \land 0) = 1 \lor 0 = 1 $$ La distributività ci mostra che espandere o condensare le operazioni non modifica il risultato, simile a quanto accade con la distribuzione in matematica classica.