Le operazioni dell'algebra booleana

Le operazioni booleane sono funzioni matematiche che manipolano una o più variabili booleane secondo le regole dell'algebra booleana.

Queste operazioni sono utilizzate in molti campi, soprattutto in informatica e elettronica digitale, per costruire e analizzare circuiti logici, programmi e algoritmi.

Ecco un riassunto delle principali operazioni booleane:

AND (Coniunzione)
Restituisce vero solo se tutti gli operandi sono veri. In simboli, $ A \wedge B $ è vero solo se sia A che B sono veri. $$ \begin{array}{cc|c}
A & B & A \land B \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $A = 1 $ e $ B = 1 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché entrambi gli input sono veri. $$ A \wedge B = 1 \wedge 1 = 1 $$ Ad esempio, un sistema di sicurezza richiede due chiavi di accesso (A e B) inserite correttamente per sbloccare una porta.
OR (Disgiunzione)
Restituisce vero se almeno uno degli operandi è vero. $ A \vee B $ è vero se A è vero, o B è vero, o entrambi sono veri. $$
\begin{array}{cc|c}
A & B & A \lor B \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 0 $ e $ B = 1 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché almeno uno degli input è vero. $$ A \vee B = 0 \vee 1 = 1 $$ Ad esempio, un sistema di allarme si attiva se viene rilevato movimento (A) o se un sensore di finestra (B) è interrotto.
NOT (Negazione)
Inverte il valore dell'operando. Se $ A $ è vero, $ \neg A $ (not A) è falso, e viceversa. $$
\begin{array}{c|c}
\text{A} & \text{¬A} \\
\hline
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 0 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché l'input è falso e la negazione inverte il valore. $$ \neg A = 1 $$ Ad esempio, un indicatore luminoso led si accende (vero) quando la tv è spenta (falso).
NAND (Non AND)
Restituisce vero se almeno uno degli operandi è falso. È l'opposto dell'operazione AND. $ A \text{ NAND } B $ è falso solo se entrambi A e B sono veri. Equivale all'espressione booleana $ \neg ( A \wedge B ) $ $$ \begin{array}{cc|c}
A & B & \neg ( A \wedge B ) \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 1 $ e $ B = 1 $ il risultato è $ 0 $ (falso) perché entrambi gli input sono veri, e NAND inverte il risultato di AND. $$ \neg ( A \wedge B ) = \neg ( 1 \wedge 1 ) = \neg (1) = 0 $$ Ad esempio, un circuito di sicurezza disabilita un meccanismo se entrambe le condizioni di sicurezza (A e B) non sono soddisfatte.
NOR (Non OR)
Restituisce vero solo se tutti gli operandi sono falsi. È l'opposto dell'operazione OR. $ A \text{ NOR } B $ è vero solo se entrambi A e B sono falsi. Equivale all'espressione booleana $ \neg ( A \lor B ) $ $$ \begin{array}{cc|c}
A & B & \neg ( A \lor B ) \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 0 $ e $ B = 0 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché nessuno degli input è vero, e NOR inverte il risultato di OR. $$ \neg ( A \vee B ) = \neg ( 0 \vee 0 ) = \neg (0) = 1 $$ Ad esempio, un sistema blocca la barra di accesso all'autostrada se non ci sono veicoli o se due veicoli vogliono passare contemporaneamente (né A né B).
XOR (OR esclusivo)
Restituisce vero se gli operandi hanno valori diversi. $ A \text{ XOR } B $ è vero se A è vero e B è falso, o se A è falso e B è vero. Il simbolo matematico comunemente utilizzato per rappresentare l'operazione XOR (OR esclusivo) è $ \oplus $. $$ \begin{array}{cc|c}
A & B & A \oplus B \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 0 $ e $ B = 1 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché gli input hanno valori diversi. $$ A \oplus B = 0 \oplus 1 = 1 $$ Ad esempio, un circuito di controllo attiva una funzione solo quando una delle due condizioni è presente, ma non entrambe, come un sistema di switch che attiva un dispositivo con un pulsante ma lo spegne con un altro.
XNOR (Non XOR)
Restituisce vero (1) se gli operandi hanno lo stesso valore. In caso contrario restituisce falso (0). È l'opposto dell'operazione XOR. $ A \text{ XNOR } B $ è vero se entrambi gli operandi sono veri o entrambi sono falsi. Equivale all'espressione booleana $ \neg ( A \oplus B ) $ $$ \begin{array}{cc|c}
A & B & \neg ( A \oplus B ) \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} $$
Esempio. Se $ A = 0 $ e $ B = 0 $ il risultato è $ 1 $ (vero) perché gli input hanno lo stesso valore, e XNOR inverte il risultato di XOR. $$ \neg ( A \oplus B ) = \neg ( 0 \oplus 0 ) = \neg (0) = 1 $$ Ad esempio, un sistema di verifica conferma l'esito solo quando due input corrispondenti confermano la stessa condizione, come in un circuito di controllo di coerenza.