L'operazione di equivalenza

L'operazione di equivalenza (o doppia implicazione) restituisce il valore vero (1) se e solo se entrambi i suoi operandi hanno lo stesso valore. Viene indicata con il simbolo ↔. $$ A \leftrightarrow B $$

E' una delle operazioni fondamentali nell'algebra booleana e nella logica proposizionale.

L'operazione di equivalenza tra due variabili booleane \( A \) e \( B \) è definita come segue:

$$ A \leftrightarrow B $$

Questa espressione è vera (1) se \( A \) e \( B \) sono entrambi veri o entrambi falsi. In altre parole, \( A \leftrightarrow B \) è vera se \( A \) e \( B \) sono logicamente equivalenti.

La tabella di verità per l'operazione di equivalenza è la seguente:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \leftrightarrow B \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Per comprendere meglio l'operazione di equivalenza, consideriamo un esempio pratico:

 Se \( A \) rappresenta "È giorno" e \( B \) rappresenta "Il sole è visibile", \( A \leftrightarrow B \) sarebbe vero se entrambe le affermazioni sono vere (è giorno e il sole è visibile) o entrambe sono false (non è giorno e il sole non è visibile).

La relazione tra l'equivalenza e gli operatori logici booleani

Se una delle affermazioni è vera e l'altra è falsa, l'operazione \( A \leftrightarrow B \) risulterebbe falsa.

L'operazione di equivalenza può essere espressa utilizzando altre operazioni logiche fondamentali, come l'AND, l'OR e la negazione (NOT). Una delle forme equivalenti è:

\[ A \leftrightarrow B = (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) \]

Questa espressione afferma che \( A \leftrightarrow B \) è vera se entrambe le variabili sono vere o entrambe sono false.

L'operazione di equivalenza è utilizzata in vari campi. Ad esempio, in un circuito digitale viene usata per verificare se due segnali logici sono identici. Nella logica proposizionale è utilizzata per formulare e risolvere espressioni logiche complesse. Negli algoritmi, infine, per effettuare un confronto logico tra le variabili.

Le proprietà dell'equivalenza

L'operazione di equivalenza soddisfa questa proprietà

• Commutatività
  \[ A \leftrightarrow B = B \leftrightarrow A \]
• Associatività
  \[ (A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C = A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) \]
• Idempotenza
  \[ A \leftrightarrow A = 1 \]
• Involutività
  \[ \neg (A \leftrightarrow B) = A \leftrightarrow \neg B \]