La probabilità condizionata
In statistica la probabilità condizionata descrive la probabilità di un evento, dato che un altro evento è già accaduto. Si denota solitamente come $$ P(A∣B) $$ che si legge "la probabilità di A dato B".
Supponi di avere due eventi A e B, che sono in qualche modo correlati ovvero che sono eventi dipendenti.
La probabilità condizionata p(A|B) è la probabilità che l'evento A si verifichi, sapendo che l'evento B si è già verificato.
$$ P(A∣B)= \frac{ P(A∩B)}{P(B)} $$
Dove:
- P(A∣B) è la probabilità condizionata di A dato B.
- P(A∩B) è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi A e B
- P(B) è la probabilità dell'evento B.
La probabilità condizionata ti permette di comprendere come la conoscenza di un evento influenzi la probabilità di un altro evento.
Ricorda che la probabilità condizionata assume significato solo in contesti dove gli eventi sono eventi dipendenti, quando la realizzazione dell'evento B in qualche modo influisce sulla probabilità dell'evento A. Questa interdipendenza è fondamentale per il concetto di probabilità condizionata. Se gli eventi A e B sono eventi indipendenti, la probabilità di A non cambia a prescindere dal verificarsi di B. In queste circostanze, la probabilità condizionata di A dato B è semplicemente uguale alla probabilità iniziale di A. $$ P(A∣B)=P(A) $$
Ecco un esempio pratico.
Immagina di avere un mazzo di carte e di voler sapere la probabilità di estrarre un asso, sapendo che la carta estratta è di quadri.
- L'evento A è "estrarre un asso"
- L'evento B è "estrarre una carta di quadri"
La probabilità condizionata p(A|B) ti aiuta a calcolare la probabilità dell'evento A tenendo conto dell'informazione che l'evento B è già accaduto, ossia hai pescato una carta di quadri.
$$ P(A∣B)= \frac{ P(A∩B)}{P(B)} $$
La probabilità di estrarre una carta di quadri è il numero di carte di quadri presenti nel mazzo (13) diviso per il numero totale di carte (52).
$$ P(B)= \frac{13}{52} $$
La pobabilità di pescare un asso che è anche una carta di quadri è uguale al numero di assi di quadri (1) presenti nel mazzo di carte (52).
$$ P(A∩B)= \frac{1}{52} $$
Quindi, la probabilità condizionata P(A|B) di estrarre un'asso sapendo che la carta estratta è una carta di quadri è la seguente:
$$ P(A∣B)= \frac{ P(A∩B)}{P(B)} $$
$$ P(A∣B)= \frac{ \frac{1}{52} }{ \frac{13}{52} } = \frac{1}{52} \cdot \frac{52}{13} = \frac{1}{13} = 0.076 $$
In conclusione, sapendo che la carta pescata è di quadri, la probabilità di pescare un asso è circa 0.076 ossia 7.6% per cento.
