La probabilità composta
La probabilità composta si riferisce alla probabilità che due o più eventi si verifichino insieme.
In altre parole, la probabilità composta di due eventi A e B risponde alla domanda "Qual è la probabilità che si verifichino sia A sia B?"
Si occupa della simultaneità di più eventi, che possono essere indipendenti o dipendenti.
Prima di addentrarci negli esempi, ti spiego la differenza tra gli eventi indipendenti e dipendenti
- Eventi indipendenti
Due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non influenza la probabilità che si verifichi l'altro. Un classico esempio è il lancio di un dado e il lancio di una moneta oppure il lancio di due dadi. In questi casi la probabilità di un evento non viene modificata dall'esito dell'altro evento. - Eventi dipendenti
Due eventi sono dipendenti se il verificarsi di uno cambia la probabilità che si verifichi l'altro. Ad esempio, estrarre una carta da un mazzo e poi estrarne un'altra senza rimettere la prima carta nel mazzo. In questo caso, l'esito del primo evento (la prima carta) cambia la probabilità del secondo evento (la seconda carta).
A questo punto, una volta chiarito questa differenza, posso spiegarti come si calcola la probabilità composta.
Calcolo della probabilità composta
Il calcolo della probabilità composta cambia a seconda se gli eventi sono indipendenti o dipendenti tra loro.
Eventi indipendenti
Se gli eventi sono indipendenti, per ottenere la probabilità composta devi semplicemente moltiplicare tra loro le probabilità di ciascun evento A e B.
$$ P(A) \cdot P(B) $$
Ad esempio, hai un mazzo di 52 carte e devi calcolare la probabilità di estrarre 2 assi rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo.
Quando estrai la prima carta (evento A) hai una probabilità di p(A)=4/52 di pescare un asso, perché ci sono 4 assi in un mazzo di 52 carte.
$$ P(A) = \frac{4}{52} $$
Dopo aver visto la carta appena estratta, la rimetti nel mazzo.
Ora estrai la seconda carta (evento B). La probabilità di estrarre un asso è sempre p(B)=4/52 perché ci sono 4 assi nel mazzo di 52 carte.
$$ P(B) = \frac{4}{52} $$
Quindi, la probabilità composta di pescare due assi dal mazzo in due estrazioni consecutive è il prodotto delle probabilità degli eventi p(A) per p(B)
$$ P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52} = 0.0059 = 0.59 \% $$
Come puoi notare, la probabilità di estrarre un asso è sempre la stessa, sia nella prima carta che nella seconda carta estratta.
La probabilità di estrarre 2 assi in due estrazioni consecutive, mettendo la carta nel mazzo, è circa lo 0.59%.
Eventi dipendenti
Qui il calcolo è un po' più complesso, perché devi considerare come il primo evento influenza il secondo evento.
Ad esempio, se in un mazzo di carte estrai un asso e non lo rimetti nel mazzo, la probabilità di estrarre un altro asso cambia.
Immagina di avere un mazzo di 52 carte.
Nella prima estrazione la probabilità di trovare un asso è 4/52.
$$ P(A) = \frac{4}{52} $$
Senza rimettere la carta nel mazzo, estrai una seconda carta.
La probabilità di estrarre un secondo asso è diventata 3/51 poiché ora ci sono solo 3 assi in un mazzo di 51 carte.
$$ P(B) = \frac{3}{51} $$
Quindi, la probabilità composta di estrarre due assi in due estrazioni consecutive è 4/52 per 3/51, che è circa 0.45%.
$$ P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = 0.0045 = 0.45 \% $$
In questo caso la probabilità del secondo evento (B) è stata modificata dal primo evento (B) perché i due eventi sono dipendenti.
La differenza tra la probabilità composta e condizionata
La probabilità condizionata e la probabilità composta sono due concetti strettamente correlati nella teoria delle probabilità, ma hanno significati e applicazioni differenti.
- La probabilità condizionata si basa sull'interdipendenza degli eventi e si chiede "Se so che B si è verificato, come cambia la mia aspettativa che si verifichi A?"
- La probabilità composta si basa sulla simultaneità degli eventi e si chiede "Qual è la probabilità che si verifichino sia A sia B?"
Per illustrare la differenza, prendiamo l'esempio del mazzo di carte. La probabilità condizionata potrebbe essere: "Qual è la probabilità di estrarre un asso sapendo che la carta estratta è di cuori?" Mentre la probabilità composta potrebbe chiedere: "Qual è la probabilità di estrarre un asso e poi un re in due estrazioni consecutive senza reinserire la prima carta?"
In conclusione, la probabilità composta è uno strumento essenziale per capire come vari eventi si influenzano a vicenda.
Che si tratti di eventi indipendenti o dipendenti, la chiave sta nel capire come calcolarli correttamente.
