Le variabili aleatorie o casuali

Le variabili aleatorie sono utilizzate per quantificare fenomeni aleatori.

Puoi vederle come funzioni che associano un valore reale a ogni risultato possibile di un esperimento o fenomeno casuale.

Ogni valore possibile (esito) ha una propria probabilità di verificarsi.

Poiché ogni esito esclude gli altri, la somma di tutte le probabilità di una variabile aleatoria è sempre uguale a 1.

Esempio. Immagina che tu stia giocando a un gioco che coinvolge il lancio di un dado. Non sai quale numero uscirà, giusto? Questa incertezza è un esempio di un fenomeno aleatorio. Una variabile aleatoria X è uno strumento matematico che ti aiuta a parlare di queste incertezze in modo preciso.

Un esempio di variabile aleatoria

Immagina di lanciare un dado standard a sei facce con un numero da 1 a 6.

Prima di lanciare il dado, non sai quale numero uscirà.

In questo caso, la variabile aleatoria è il risultato del lancio del dado.

Per eliminare l'incertezza definisci una variabile aleatoria, diciamo X, che rappresenta il risultato del lancio del dado.

I possibili valori che la variabile X può assumere uno dei sei valori: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Ad esempio, X=2 equivale a dire che esce la faccia del dado con il numero 2.

Ogni risultato (da 1 a 6) ha la stessa probabilità di apparire pari a 1/6​, circa 16.67%.

In un dado equilibrato, ogni faccia ha la stessa probabilità di apparire perché non c'è nessun fattore che favorisca un risultato rispetto agli altri, rendendo ciascuno dei sei possibili esiti altrettanto probabile.

Quindi, la probabilità che esca il numero 2 è uguale alla probabilità che esca il numero 6.

$$ p(X=1) = \frac{1}{6} $$

$$ p(X=2) = \frac{1}{6} $$

$$ p(X=3) = \frac{1}{6} $$

$$ p(X=4) = \frac{1}{6} $$

$$ p(X=5) = \frac{1}{6} $$

$$ p(X=6) = \frac{1}{6} $$

Poiché in un lancio di dado una faccia deve necessariamente apparire, la somma delle probabilità di tutti gli esiti possibili è pari a 1, ovvero al 100%.

$$ \frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$

Supponi ora che tu stia giocando a un gioco in cui vinci se esce un numero pari (2, 4 o 6).

La variabile aleatoria X ti aiuta a capire le tue probabilità di vincere con un semplice calcolo delle probabilità.

La probabilità di ottenere un numero pari (2, 4 o 6) è la somma delle probabilità individuali di questi numeri, che è 1/6+1/6+1/6

$$ P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0.5 $$

Pertanto, hai una probabilità di 0.5 (su 1) ossia del 50% di vincere.

Questo semplice esempio ti mostra come una variabile aleatoria possa essere usata per quantificare e comprendere l'incertezza in una situazione pratica, come il lancio di un dado in un gioco.

Tipi di variabili aleatorie

Ci sono due tipi principali di variabili aleatorie.

• Variabili aleatorie discrete
  Queste variabili possono assumere un numero finito o infinito numerabile di valori distinti. La distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta è spesso rappresentata tramite una funzione di massa di probabilità, che assegna una probabilità a ciascuno dei suoi possibili valori.

  Esempio.Alcuni esempi comuni sono il lancio di un dado (con valori possibili da 1 a 6) o il numero di automobili vendute da un concessionario in un giorno.

• Variabili aleatorie continue
  Le variabili aleatorie continue possono assumere un numero infinito di valori, spesso lungo un intervallo continuo di numeri reali. La loro distribuzione è descritta da una funzione di densità di probabilità, che, a differenza della funzione di massa, assegna probabilità agli intervalli di valori piuttosto che a valori specifici.

  Esempio.Un esempio può essere la durata di una chiamata telefonica o la misura della pressione sanguigna.

La distribuzione di probabilità

L'insieme di tutte le probabilità degli esiti di una variabile aleatoria determinano la sua distribuzione di probabilità.

Una distribuzione di probabilità è rappresentata tramite una diagramma cartesiano o un istogramma e può assumere varie forme.

Tra le tante distribuzioni possibili, ce ne sono alcune particolarmente importanti:

• Distribuzione normale o gaussiana
  Una delle distribuzioni più famose, utilizzata in molte applicazioni pratiche per la sua proprietà di centralità.
• Distribuzione binomiale
  Utilizzata per modellare il numero di successi in una serie di prove indipendenti.
• Distribuzione di Poisson
  Utilizzata per eventi rari in un intervallo di tempo fisso.
• Distribuzione esponenziale
  Adatta per modellare il tempo tra gli eventi in un processo di Poisson.

Le variabili aleatorie trovano applicazione in diversi campi STEM come statistica, ingegneria, fisica ma anche in altre materie come economia, scienze sociali, medicina.