Probabilità

Le probabilità sono un modo di quantificare il grado di certezza o incertezza riguardante il verificarsi di un evento. In termini semplici, la probabilità ti aiuta a capire quanto è probabile che una particolare situazione si verifichi.

Cos'è un evento? Prima di addentrarci nelle probabilità, è importante capire cosa intendiamo per "evento". In termini di probabilità, un evento è qualunque risultato o insieme di risultati di un processo o esperimento.

Ad esempio, lanciando un dado, ottenere un 6 è un evento, così come è un evento ottenere un numero pari.

Come si misurano le probabilità

Le probabilità sono generalmente espresse come un numero tra 0 e 1.

• Un evento con una probabilità di 0 è impossibile (non accadrà mai)
• Un evento con una probabilità di 1 è certo (accadrà sicuramente).

Gli eventi che hanno una probabilità compresa tra 0 e 1 possono verificarsi oppure no.

Esempio. La probabilità di lanciare un dado e ottenere un numero maggiore di 6 è 0, perché un dado standard ha solo sei facce. La probabilità di ottenere un numero minore di 7 è, invece, 1 (100%). Qualsiasi faccia del dado esca, sarà sicuramente inferiore di 7.

Il calcolo delle probabilità si basa su una formula semplice:

$$ \text{Probabilità} = \frac{\text{Numero di modi in cui l’evento può verificarsi}}{\text{Numero totale di possibili esiti}} $$

Ti faccio alcuni esempi pratici per spiegare meglio il concetto.

Esempio 1

Nel lancio di una moneta ci sono due possibili esiti - testa o croce.

Quindi, la probabilità di ottenere testa è quindi 1/2.

$$ P = \frac{1}{2} = 0.5 $$

In questo caso la probabilità è del 50%

In una scala da 0 a 1 la probabilità 0.5 equivale alla probabilità del 50% in una scala da 0 a 100. $$ P = 0.50 = \frac{50}{100} = 50% $$

Esempio 2

La probabilità di ottenere un 4 lanciando un dado standard è 1 su 6, poiché ci sono 6 possibili esiti (1, 2, 3, 4, 5, 6) e solo uno di questi è il 4.

$$ P= \frac{1}{6} = 0.1667 $$

Quindi, la probabilità di ottenere 4 è circa il 16%

Esempio 3

Se estrai una carta da un mazzo di 52 carte, la probabilità di estrarre un asso è 4 su 52 poiché ci sono 4 assi, che può essere semplificato in 1 su 13.

$$ P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} = 0.0769 $$

La probabilità di estrarre un asso è circa 7.69%

La differenza tra probabilità a priori e a posteriori

La differenza tra probabilità a priori e a posteriori riguarda principalmente il momento e le informazioni su cui si calcolano queste probabilità.

• Probabilità a priori (teorica)
  La probabilità a priori è determinata prima di qualsiasi osservazione empirica. Si basa sulla conoscenza teorica o sulle ipotesi preesistenti riguardo al fenomeno in esame.

  Esempio. Considera il lancio di una moneta non truccata. La probabilità a priori di ottenere testa è del 50%, basata sulla conoscenza che la moneta ha due facce e nessuna distorsione. Ti faccio un altro esempio. Un dado ha 6 facce e ogni faccia ha la stessa probabilità teorica di uscire (1/6).

• Probabilità a posteriori
  La probabilità a posteriori è calcolata dopo aver osservato i dati o i risultati sperimentali. Questa probabilità tiene conto delle informazioni reali ottenute dall'osservazione o dall'esperimento e aggiorna la probabilità a priori.

  Esempio. Se, dopo aver lanciato un dado 100 volte, otteni 80 volte la faccia con il numero 6, la probabilità a posteriori di ottenere 6 nel prossimo lancio potrebbe essere aggiustata in base a questi risultati sperimentali, indicando forse che il dado potrebbe non essere equilibrato. Ogni faccia del dado ha una probabilità a priori (teorica) di 1/6, circa il 16% di uscire. In questo caso, l'evidenza empirica sta mostrando una probabilità a posteriori molto diversa (80%). Quindi, la probabilità a priori del 16% è poco realistica.

In breve, la probabilità a priori (teorica) si basa su conoscenze o assunzioni teoriche prima di qualsiasi osservazione diretta, mentre la probabilità a posteriori è aggiornata rispetto ai dati effettivamente osservati.

Questo aggiornamento delle probabilità è spesso realizzato utilizzando il Teorema di Bayes, che fornisce un metodo per aggiornare la probabilità a priori di un'ipotesi in base a nuove evidenze o informazioni.

La probabilità composta

La probabilità composta è la probabilità che due eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente.

Ad esempio, la probabilità di ottenere due 6 lanciando due dadi è 1/6 moltiplicato per 1/6, che è 1/36.

$$ P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} $$

Quindi, la probabilità che esca la faccia con il numero 6 lanciando due dadi è circa il 2.7%

$$ P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = 0.027 $$

Ricorda che, per calcolare la probabilità composta, gli eventi devono essere indipendenti tra loro che si verificano in sequenza o simultaneamente.

In altri termini, il primo evento non deve influenzare il secondo e viceversa.

Esempio. Quando lanci due dadi contemporaneamente, il risultato di un dado non influenza il risultato dell'altro dado.

Con questa guida introduttiva ma dettagliata, ora hai una comprensione solida delle probabilità e delle loro applicazioni pratiche