Le equazioni lineari

Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di primo grado, cioè un'equazione in cui la variabile compare solo al primo grado (ossia non elevata a potenze superiori a uno) e non compare in prodotti con altre variabili.

La forma generale di un'equazione lineare in una incognita \( x \) è:

$$  ax + b = 0 $$

Dove \( a \) e \( b \) sono coefficienti reali (con \( a \neq 0 \) affinché l'equazione sia effettivamente lineare) mentre \( x \) è l'incognita.

Un'equazione lineare ha queste caratteristiche:

• Primo grado
  La variabile \( x \) è di primo grado, cioè compare solo come \( x \) e non come \( x^2 \), \( x^3 \), ecc.
• Coefficiente non nullo
  Il coefficiente \( a \) che moltiplica la variabile \( x \) è diverso da zero (\( a \neq 0 \)).
  Soluzione unica
  Se l'equazione è nella forma standard \( ax + b = 0 \), allora ha una sola soluzione data da \( x = -\frac{b}{a} \).

Esempi di equazioni Lineari

Alcuni esempi di equazioni lineari con una variabile incognita

$$ 2x + 3 = 0 $$

Soluzione: \( x = -\frac{3}{2} \)

$$  5x + 10 = 0 $$

Soluzione: \( x = 2 \)

$$ x - 7 = 0 $$

Soluzione: \( x = 7 \)

Equazioni lineari in più Incognite

Un'equazione lineare può anche avere più di una incognita.

Ad esempio, in due incognite \( x \) e \( y \), la forma generale è:

$$ ax + by + c = 0 $$

Dove \( a \), \( b \) e \( c \) sono coefficienti reali.

Equazioni non lineari. Un'equazione non è lineare se la variabile compare elevata a una potenza maggiore di uno, o se compare in prodotti o in funzioni non lineari. Ad esempio, la seguente equazione non è lineare \( x^2 + 2x + 1 = 0 \) perché la variabile incognita è elevata alla seconda (equazione quadratica)

In conclusione, un'equazione lineare è un'equazione algebrica di primo grado, che può essere rappresentata nella forma \( ax + b = 0 \) per una singola incognita, può avere più incognite e ha la caratteristica di avere una sola soluzione determinata dall'equazione stessa.