Sistemi di equazioni equivalenti
Un sistema equivalente è un sistema di equazioni lineari che ha lo stesso insieme di soluzioni di un altro sistema di equazioni lineari.
In altre parole, due sistemi di equazioni sono equivalenti se, risolvendoli, si ottengono le stesse soluzioni.
Le operazioni elementari che possono essere utilizzate per trasformare un sistema di equazioni lineari in un sistema equivalente, senza alterare l'insieme delle soluzioni includono:
- Sommare a un'equazione un'altra equazione del sistema moltiplicata per un numero.
- Moltiplicare un'equazione per un numero diverso da zero.
- Scambiare di posto due equazioni.
- Eliminare o aggiungere un'identità (equazione del tipo 0 = 0).
Queste operazioni sono fondamentali per la manipolazione dei sistemi di equazioni lineari perché permettono di semplificare i sistemi di equazioni senza perdere informazioni sulle soluzioni, in particolare quando si risolvono sistemi utilizzando metodi come l'eliminazione di Gauss.
Esempio
Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari:
\[ S: \begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x + 6y = 10
\end{cases} \]
Per vedere se possiamo trovare un sistema equivalente, applichiamo alcune operazioni elementari:
Possiamo dividere la seconda equazione per 2:
$$ S: \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ \frac{4x + 6y}{2} = \frac{10}{2} \end{cases} $$
$$ S: \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} $$
Notiamo che la seconda equazione, dopo la divisione, è identica alla prima equazione. Quindi possiamo riscrivere il sistema \( S \) come:
\[ S': \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} \]
Ora possiamo semplificare ulteriormente il sistema eliminando l'equazione ridondante (una delle due equazioni identiche):
\[ S'': \begin{cases}
2x + 3y = 5
\end{cases} \]
Spiegazione. Se sommiamo alla seconda equazione la prima equazione moltiplicata per -1 otteniamo un'identità, che possiamo eliminare dal sistema. \[ S'': \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y - (2x+3y) = 5 - (5) \end{cases} \] \[ S'': \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 0 = 0 \end{cases} \] \[ S'': \begin{cases} 2x + 3y = 5 \end{cases} \]
Il sistema \( S'' \) è equivalente al sistema \( S \) originale perché hanno esattamente le stesse soluzioni.
\[ S'': \begin{cases}
2x + 3y = 5
\end{cases} \]
Infatti, qualsiasi coppia \( (x, y) \) che soddisfa l'equazione \( 2x + 3y = 5 \) soddisferà anche il sistema originale \( S \).
Quindi, abbiamo trasformato il sistema \( S \) in un sistema equivalente \( S'' \) usando operazioni elementari senza alterare l'insieme delle soluzioni del sistema.
Le proprietà dei sistemi equivalenti
Le proprietà fondamentali dell'equivalenza tra sistemi di equazioni equivalenti sono:
- Proprietà riflessiva: ogni sistema è equivalente a se stesso.
- Proprietà simmetrica: se un sistema è equivalente a un altro, anche l'altro è equivalente al primo.
- Proprietà transitiva: se un sistema è equivalente a un secondo e questo secondo a un terzo, allora il primo sistema è equivalente al terzo.
Queste proprietà confermano che l'equivalenza tra sistemi di equazioni è una relazione di equivalenza.
