Perché un'equazione lineare non può avere due soluzioni?

Un'equazione lineare in una incognita non può avere due soluzioni distinte. Vediamo perché.

Consideriamo l'equazione lineare

$$ ax = b $$

Dove $ a $ e $ b $ sono numeri reali e $ x $ è l'incognita.

I coefficienti $ a $ e $ b $ possono essere nulli o non nulli.

Analiizziamo ogni singolo caso.

1] Caso $ a \ne 0 $

Se $ a $ è diverso da zero, possiamo risolvere l'equazione isolando $ x $:

$$ x = \frac{b}{a} $$

L'equazione ha una e una sola soluzione, data da $ x = \frac{b}{a} $.

2] Caso $ a = 0 $

In questo caso, bisogna distinguere tra due sottocasi:

$ b \ne 0 $
Se $ a = 0 $ e $ b \ne 0 $, l'equazione diventa $$ 0 \cdot x = b $$ Questa equazione è una contraddizione perché 0 non può essere uguale a un numero diverso da zero. Quindi, non ci sono soluzioni.
$ b = 0 $
Se $ a = 0 $ e $ b = 0 $, l'equazione diventa: $$ 0 \cdot x = 0 $$ Questa equazione è un'identità vera per qualsiasi valore di $ x $. In questo caso, l'equazione ha infinite soluzioni.

La conclusione

In conclusione, da quanto analizzato, possiamo concludere che:

Pertanto, un'equazione lineare in una incognita non può mai avere esattamente due soluzioni distinte.