Sistemi di equazioni lineari

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni che coinvolgono le stesse variabili e devono essere risolte contemporaneamente.

\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
\]

Dove \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) sono i coefficienti delle variabili \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), mentre \( b_1, b_2, \ldots, b_n \) sono dei termine costanti.

Ogni equazione nel sistema è lineare, il che significa che può essere rappresentata nella forma:

Il problema principale in un sistema di equazioni lineari è trovare i valori delle variabili che soddisfano tutte le equazioni simultaneamente.

Esistono diversi metodi per risolvere questi sistemi, tra cui:

1. Metodo di sostituzione
   Risolve una delle equazioni per una variabile in termini delle altre. Poi sostituisce questa espressione nelle altre equazioni, riducendo il numero di variabili. Ripete il processo fino a risolvere tutte le variabili.
2. Metodo di eliminazione (o riduzione di Gauss)
   Aggiunge o sottrae le equazioni per eliminare una delle variabili. Ripete il processo fino a ottenere un sistema triangolare (o echelon). Risolve il sistema risultante per sostituzione all'indietro.
3. Metodo della matrice inversa
   Rappresenta il sistema come una matrice \( \mathbf{A} \) delle coefficienti, un vettore delle variabili \( \mathbf{x} \) e un vettore delle costanti \( \mathbf{b} \). Se \( \mathbf{A} \) è invertibile, si può trovare la soluzione usando \( \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \).

Esempio pratico

Consideriamo un semplice sistema di due equazioni lineari con due variabili:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x - y = 3
\end{cases}
\]

Usiamo il metodo della sostituzione e risolviamo la prima equazione per \( y \):

\[ y = \frac{5 - 2x}{3} \]

Sostituiamo \( y \) nella seconda equazione:

\[ 4x - \frac{5 - 2x}{3} = 3 \]

Risolviamo per \( x \):

\[ 12x - 5 + 2x = 9 \]

\[ 14x = 14 \]

\[ x = 1 \]

Usando il valore di \( x \), risolviamo per \( y \):

\[ y = \frac{5 - 2(1)}{3} = 1 \]

Quindi, la soluzione del sistema è \( x = 1 \) e \( y = 1 \).

Generalmente in un sistema di equazioni a due o tre variabili si usano i simboli x, y e z per indicare le incognite.

Nei sistemi di equazioni lineari con più incognite si tende, invece, a usare il simbolo x con degli indici (x₁, x₂, x₃, x₄...) per indicare le variabili.

\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
\]

Una soluzione del sistema \( S \) è una \( q \)-upla di numeri reali \( (x_1, x_2, \ldots, x_q) \) che sostituiti nelle equazioni del sistema alle incognite \( (x_1, x_2, \ldots, x_q) \) confermano delle identità.

I coefficienti (a₁, a₂, a₃, a₄...) delle variabili formano una matrice detta matrice dei coefficienti.

\[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1q} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{p1} & a_{p2} & \cdots & a_{pq}
\end{pmatrix}
\]

Questa matrice è molto utile per studiare le soluzioni del sistema di equazioni.

Ad esempio, prendiamo il sistema di equazioni dell'esempio precedente chiamano le incognite x₁ e x₂ al posto di x e y.

\[
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 = 5 \\
4x_1 - x_2 = 3
\end{cases}
\]

In questo caso la matrice dei coefficienti A è una matrice quadrata 2x2.

\[  A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
\]

Il vettore delle incognite è composto da due elementi x₁ e x₂.

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$

Il vettore dei termini noti è composto da due numeri, ovvero i termini noti delle equazioni

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Questo permette di scrivere il sistema di equazioni in una forma diversa, detta forma matriciale.

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

$$ \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Svolgendo i calcoli matriciali si ottiene nuovamente il sistema di equazione.

Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A per il vettore x.

$$ \begin{pmatrix}
2x_1 & 3x_2 \\
4x_1 & -1x_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Il risultato finale è il sistema di equazione iniziale.

\[
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 = 5 \\
4x_1 - x_2 = 3
\end{cases}
\]

In forma matriciale questo sistema può essere risolto molto rapidamente usando il metodo di Cramer.