Relazione simmetrica
Una relazione simmetrica è una relazione binaria \( R \) su un insieme \( A \) tale che, per ogni coppia di elementi \( a \) e \( b \) in \( A \), se \( a \) è in relazione con \( b \) (ovvero, \( aRb \)), allora anche \( b \) è in relazione con \( a \) (cioè, \( bRa \)).
Un esempio tipico è il matrimonio, se Giovanni è sposato con Anna, allora Anna è sposata con Giovanni.
Un altro esempio interessante potrebbe essere la relazione di "essere fratelli". Se Marco è fratello di Lucia, allora Lucia è sorella di Marco. Questo rende la relazione tra fratelli un esempio di relazione simmetrica.
Alcuni esempi comuni sono l'amicizia, se Maria è amica di Luca, allora Luca è amico di Maria. Tuttavia, non è detto che l'amicizia sia sempre ricambiata... Quindi, non è detto che sia sempre simmetrica. E' sempre simmetrica se consideriamo l'amicizia su Facebook, ma nella vita reale potrebbe anche non esserlo.
Una volta capito questo concetto, possiamo fare qualche esempio più matematico.
Esempio
Consideriamo l'insieme \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) e definiamo la relazione \( R \) come "essere divisibile per lo stesso numero".
Formalmente, diremo che \( aRb \) se e solo se \( a \) e \( b \) sono divisibili per lo stesso numero. Esaminiamo alcune coppie:
- \( (2, 4) \in R \) perché entrambi sono divisibili per 2.
- \( (3, 6) \in R \) perché entrambi sono divisibili per 3.
Per verificare la simmetria:
- Se \( 2 \) è in relazione con \( 4 \) perché entrambi sono divisibili per 2, allora anche \( 4 \) è in relazione con \( 2 \).
- Se \( 3 \) è in relazione con \( 6 \) perché entrambi sono divisibili per 3, allora anche \( 6 \) è in relazione con \( 3 \).
Quindi, questa relazione è simmetrica.
