Le relazioni in matematica

Una relazione \( R \) su un insieme \( S \), più precisamente una relazione binaria su \( S \), è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( S \times S \). Si rappresenta come \[ R \subseteq S \times S \]

Questo significa che \( R \) consiste di coppie ordinate \((a, b)\) dove \( a \) e \( b \) sono elementi di \( S \).

In altre parole, una relazione binaria collega due elementi di \( S \) in modo tale che se \( (a, b) \in R \), possiamo dire che \( a \) è in relazione con \( b \) secondo \( R \).

Esempio

Attraverso esempi concreti, possiamo comprendere come questi sottoinsiemi di \( S \times S \) descrivano diverse modalità di interazione tra gli elementi di un insieme.

Esempio 1

Per illustrare il concetto di relazione, consideriamo la relazione maggiore-uguale $ \ge $

Se \( S \) è un insieme finito composto da quattro elementi

$$ S = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$

Il prodotto cartesiano \( S \times S \) è dato da tutte le coppie ordinate \((a, b)\) dove \(a\) e \(b\) sono elementi di \( S \).

$$ S \times S = \{ (a, b) \mid a \in S, b \in S \} $$

Quindi, per l'insieme \( S = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) possiamo disporre il prodotto cartesiano \( S \times S \) su più righe per una migliore leggibilità:

$$ \begin{aligned}
S \times S = \{ & (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), \\
               & (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), \\
               & (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), \\
               & (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) \}
\end{aligned} $$

Questa rappresentazione include tutte le possibili coppie ordinate formate dagli elementi dell'insieme \( S \).

Soltanto alcuni elementi del prodotto cartesiano soddisfano la relazione R maggiore uguale $ \ge $

$$ R = \{ (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3),  (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)  \} $$

Ad esempio 1R1 è vera perché la relazione R significa " maggiore o uguale" ossia $ 1 \ge 1 $. Lo stesso vale per 2R1. La relazione non è vera, invece, per 1R2 perché 1 non è maggiore-uguale di 2.

Pertanto, la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

$$ R \subseteq S \times S $$

Esempio 2

Se \( S \) è l'insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \), la relazione "maggiore o uguale" \( \geq \) è definita come:

\[ R = \{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a \geq b \} \]

In questo caso, \( (5, 3) \in R \) perché 5 è maggiore di 3, mentre \( (2, 4) \notin R \) perché 2 non è maggiore o uguale a 4.

Esempio 3

Se \( S \) è ancora l'insieme dei numeri naturali, la relazione di divisibilità \( \mid \) è definita come:

$$ R = \{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a \mid b \} $$

In questo caso \( (3, 6) \in R \) perché 3 divide 6, mentre \( (4, 9) \notin R \) perché 4 non divide 9.

Tipi di relazioni binarie

Le relazioni binarie possono avere proprietà specifiche che le caratterizzano ulteriormente:

• Riflessiva
  Una relazione \( R \) su un insieme \( S \) è riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso. Formalmente, \( R \) è riflessiva se per ogni \( a \in S \), \( (a, a) \in R \).  $$(a, a) \in R \  \text{ per ogni  }\ a \in S $$

  Esempio: Se \( S = \{1, 2, 3\} \), la relazione \( R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} \) è riflessiva.

• Simmetrica
  

  Una relazione \( R \) su un insieme \( S \) è **simmetrica** se per ogni coppia \((a, b) \in R\), anche \((b, a) \in R\). In altre parole, se \( a \) è in relazione con \( b \), allora \( b \) è in relazione con \( a \).  $$ \text{Se} \  (a, b) \in R  \text{ allora } \  (b, a) \in R $$

  Esempio: Se \( S = \{1, 2\} \), la relazione \( R = \{(1, 2), (2, 1)\} \) è simmetrica.

• Transitiva
  Una relazione \( R \) su un insieme \( S \) è **transitiva** se per ogni \((a, b) \in R\) e \((b, c) \in R\), allora \((a, c) \in R\). In altre parole, se \( a \) è in relazione con \( b \) e \( b \) è in relazione con \( c \), allora \( a \) è in relazione con \( c \).  $$ \text{Se} \ (a, b) \in R \  e \ ( (b, c) \in R \ \text{ allora } (a, c) \in R $$

  Esempio: Se \( S = \{1, 2, 3\} \), la relazione \( R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\} \) è transitiva.

• Antisimmetrica
  Una relazione \( R \) su un insieme \( S \) è **antisimmetrica** se per ogni coppia \((a, b) \in R\) e \((b, a) \in R\), allora \( a = b \). In altre parole, se \( a \) è in relazione con \( b \) e \( b \) è in relazione con \( a \), allora \( a \) e \( b \) devono essere lo stesso elemento. $$ \text{Se} \ (a, b) \in R \  e \ (b, a) \in R \ \text{ allora }  a = b $$

  Esempio: Se \( S = \{1, 2, 3\} \), la relazione \( R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\} \) è antisimmetrica perché non contiene alcuna coppia distinta \((a, b)\) e \((b, a)\).

Le relazioni possono avere una combinazione di queste proprietà. Ad esempio, una relazione può essere riflessiva e simmetrica, ma non transitiva.

È importante verificare queste proprietà per capire la natura della relazione tra gli elementi di un insieme.