Teorema della semplificazione dei radicali
Il valore di un radicale non cambia se moltiplichi (o dividi) l'indice e l'esponente del radicando per uno stesso numero. In formula: $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{(a^m)^p} = \sqrt[n/p]{a^{m/p}} $$
Dove:
- \( n \) è l'indice del radicale.
- \( a \) è il radicando.
- \( m \) è l'esponente del radicando.
- \( p \) è un numero con cui moltiplichiamo o dividiamo indice ed esponente.
Questa proprietà è utile per semplificare i radicali. Puoi usarla per dividere indice ed esponente per il loro M.C.D. (Massimo Comune Divisore).
E' utile anche per uniformare l'indice di più radicali, riducendoli ad avere lo stesso indice usando il M.C.M. (Minimo Comune Multiplo) degli indici.
La semplificazione del radicale
Ecco un esempio di semplificazione del radicale.
$$ \sqrt[6]{a^{12}} $$
Qui, l'indice del radicale è 6 e l'esponente del radicando è 12.
Poiché il M.C.D. tra 6 e 12 è 6, se dividi indice ed esponente per 6 ottieni:
$$ \sqrt[6]{a^{12}} = \sqrt[6/6]{a^{12/6}} = \sqrt[1]{a^2} = a^2 $$
In pochi passaggi, sei riuscito a semplificare il radicale in modo semplice e veloce!
L'unificazione degli indici dei radicali
Facciamo un esempio pratico di unificazione degl indici.
Supponi di voler moltiplicare \(\sqrt[2]{a}\) e \(\sqrt[3]{a^2}\).
$$ \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} $$
Per eseguire questa operazione, devi portare i radicali ad avere lo stesso indice, in modo da semplificare il calcolo.
Il M.C.M. tra 2 e 3 è 6, quindi devi riscrivere entrambi i radicali con indice 6:
- Converti \(\sqrt[2]{a}\)
Moltiplica l'indice 2 per 3 per ottenere 6 e l'esponente del radicando \(a\) per 3. $$ \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3} $$ - Converti \(\sqrt[3]{a^2}\)
Moltiplica l'indice 3 per 2 per ottenere 6 e l'esponente del radicando \(a^2\) per 2. $$ \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^{2 \cdot 2 }} = \sqrt[6]{a^4} $$
Ora i radicali hanno lo stesso indice e puoi moltiplicare i radicandi tra loro sommando gli esponenti.
$$ \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^4} $$
$$ \sqrt[6]{a^{3+4}} $$
$$ \sqrt[6]{a^7} $$
Questa operazione è corretta e dimostra come, portando i radicali allo stesso indice, puoi semplificare il prodotto tra due radicali.
In conclusione, la semplificazione e l'unificazione dei radicali sono strumenti indispensabili per rendere più gestibili i calcoli matematici complessi.
