Estrazione e inserimento dei fattori in una radice

Ecco qualche esempio pratico.

Esempio

In questo caso, hai una radice quadrata (\(\sqrt{}\)) con indice 2 e un fattore \(a^2\) all’interno del radicando.

$$ \sqrt{a^2 b} $$

Poiché l’esponente di \(a\) (cioè 2) è uguale all’indice della radice (cioè 2), puoi "portare fuori" \(a\), e l’esponente diventa 1 (ovvero \(2/2\)). Il risultato è \(a \sqrt{b}\).

$$ \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b} $$

Esempio

Qui, l’indice della radice è 4 (radice quarta) e il radicando è \(a^8b \).

$$ \sqrt[4]{a^8 b} $$

Poiché l’esponente di \(a\) (8) è un multiplo dell’indice della radice (4), puoi portare fuori \(a\) con esponente ridotto: \(8/4 = 2\). Il risultato è \(a^2 \sqrt[4]{b}\).

$$ \sqrt[4]{a^8 b} = a^2 \sqrt[4]{b} $$

Esempio

In questo caso, l’esponente di \(a\) è 9 e l’indice della radice è 4.

$$ \sqrt[4]{a^9 b} $$

Puoi estrarre \(a^8\) (poiché 8 è un multiplo di 4), ottenendo \(a^2\) fuori dalla radice (\(8/4 = 2\)). Sotto radice rimane solo \(a b\), quindi il risultato finale è \(a^2 \sqrt[4]{ab}\).

$$ \sqrt[4]{a^9 b} = a^2 \sqrt[4]{ab} $$

Esempio

In questo esempio il termine \(a\) si trova fuori dalla radice quarta (\(\sqrt[4]{}\)).

$$ a \sqrt[4]{b}  $$

Per portare \(a\) dentro la radice, eleva \(a\) alla potenza dell’indice della radice, ovvero \(4\), ottenendo \(a^4\) sotto radice.

$$ a \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a^4 b} $$

Esempio

In questo esempio più generale, \(a^p\) è fuori dalla radice.

$$ a^p \cdot \sqrt[4]{b}  $$

Per inserirlo nella radice quarta, eleva \(a^p\) alla quarta potenza, ottenendo \(a^{4p}\) sotto la radice. Il risultato finale è \(\sqrt[4]{a^{4p} b}\).

$$ a^p \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a^{4p} b} $$

Questi passaggi sono molto utili per semplificare le espressioni algebriche che coinvolgono radici e potenze, rendendo i calcoli più facili e rapidi.