Il rango di una matrice su Matlab

In questa lezione ti spiego come calcolare il rango di una matrice su Matlab.

Cos'è il rango? Il rango di una matrice è il numero più alto di righe o colonne linearmente indipendenti nella matrice. E' la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori colonna. Ad esempio, questa matrice ha solo una colonna linearmente indipendente. $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ perché i due vettori in colonna sono linearmente dipendenti tra loro. Puoi scrivere ogni vettore in colonna come multiplo dell'altro $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Ti faccio un esempio pratico.

Crea una matrice 3x3 con tre righe e tre colonne

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Per trovare il rango della matrice digita la funzione rank(M)

>> rank(M)
ans = 2

Il rango della matrice è uguale a 2.

Verifica. Svolgi i calcoli a mano per verificare se il risultato è corretto. Il determinante della matrice 3x3 è nullo. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Quindi la matrice non può avere rango uguale a 3. Verifica se esiste una sottomatrice 2x2 con determinante non nullo. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ La sottomatrice ha il determinante non nullo. Pertanto, il rango della matrice M è uguale a 2.