La topologia standard

La topologia standard su $\mathbb{R}$ o su $\mathbb{R}^n$ fornisce un modo per definire gli insiemi aperti in termini di intorni aperti e gli insiemi chiusi come complemento degli insiemi aperti.

Ecco le caratteristiche principali che definiscono gli insiemi aperti e chiusi in questa topologia:

Insiemi aperti
Un insieme $ U \subset \mathbb{R}^n $ è aperto se per ogni punto $ x \in U $, esiste un raggio $ \epsilon > 0 $ tale che la palla aperta $ B(x, \epsilon) = \{ y \in \mathbb{R}^n : \|y - x\| < \epsilon \} $ è interamente contenuta in $ U $. Questo implica che ogni punto dell'insieme ha un "intorno" che si trova completamente all'interno dell'insieme stesso. La collezione di tutti gli insiemi aperti forma una topologia, nota come topologia euclidea.
Insiemi chiusi
Un insieme $ C \subset \mathbb{R}^n $ è chiuso se il suo complemento $ \mathbb{R}^n \setminus C $ è un insieme aperto. Equivale a dire che un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Ogni sequenza convergente di punti in $ C $ ha il suo limite ancora in $ C $.

Gli insiemi aperti e chiusi soddisfano diverse proprietà algebriche. Ad esempio, l'unione arbitraria di insiemi aperti è aperta, e l'intersezione finita di insiemi aperti è ancora aperta. Analogamente, l'intersezione arbitraria di insiemi chiusi è chiusa, e l'unione finita di insiemi chiusi è chiusa.

Ad esempio, in $\mathbb{R}$, intervalli come $ (a, b) $ sono esempi di insiemi aperti, mentre intervalli come $ [a, b] $ sono esempi di insiemi chiusi. Nello spazio in due dimensioni, in $\mathbb{R}^2$, i dischi aperti (escluso il bordo) sono insiemi aperti, mentre dischi chiusi (incluso il bordo) sono insiemi chiusi.

Queste definizioni e proprietà permettono di lavorare con continuità, limiti e convergenza in maniera efficace, facilitando l'analisi matematica e altre applicazioni matematiche.

Esempio

Vediamo un esempio numerico concreto per rendere più chiaro il concetto di insiemi aperti e chiusi:

Insieme aperto

Consideriamo l'intervallo $ (1, 3) $ su $\mathbb{R}$. Questo intervallo è definito come:

\[ (1, 3) = \{ x \in \mathbb{R} : 1 < x < 3 \} \]

Prendiamo, per esempio, il punto $ x = 2 $ che appartiene a $ (1, 3) $.

Dobbiamo trovare un intorno aperto di $ x $ che rimanga completamente all'interno di $ (1, 3) $.

Scegliamo $ \epsilon = 0.5 $, che è più piccolo sia di $ 2-1 $ che di $ 3-2 $.

Allora, l'intervallo $ (2 - 0.5, 2 + 0.5) $ ovvero $ (1.5, 2.5) $ è un intorno aperto di $ 2 $ che è interamente contenuto in $ (1, 3) $.

Quindi, $ (1, 3) $ è un insieme aperto.

Insieme chiuso

Consideriamo ora l'intervallo $ [0, 4] $ su $\mathbb{R}$. Questo intervallo è definito come:

$$ [0, 4] = \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 4 \} $$

Per mostrare che $ [0, 4] $ è chiuso, dobbiamo dimostrare che include tutti i suoi punti di accumulazione.

In un intervallo chiuso come $[0, 4]$ su $\mathbb{R}$, ogni punto all'interno dell'intervallo, non solo gli estremi, è un punto di accumulazione.

Punti intermedi
Per ogni punto intermedio $ x $ interno nell'intervallo $[0, 4]$, si può sempre trovare una sequenza di punti in $[0, 4]$ che converge a $ x $. Ad esempio, per un punto specifico $ x $ all'interno di $[0, 4]$, possiamo considerare una sequenza come: $$ x_n = x + \frac{1}{n} \sin(n) $$ Questa sequenza oscilla vicino a $ x $ e, nonostante le fluttuazioni, converge a $ x $ mentre $ n $ tende all'infinito. $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} x + \frac{1}{n} \sin(n) = x $$ Dal momento che ogni $ x_n $ rimane nell'intervallo $[0, 4]$ (supponendo che le fluttuazioni siano sufficientemente piccole per non superare i limiti dell'intervallo), $ x $ è un punto di accumulazione.
Estremo inferiore
Analizziamo se l'estremo inferiore (0) dell'intervallo $[0, 4]$ è un punto di accumulazione compreso nell'intervallo. Consideriamo una sequenza di punti all'interno dell'intervallo che converge a un limite. Ad esempio, supponiamo la sequenza $ \{x_n\} $ definita da $$ x_n = \frac{4}{n+1} $$ Ogni termine della sequenza è chiaramente in $ [0, 4] $ poiché $ 0 \leq \frac{4}{n+1} \leq 4 $. Ora, $ x_n $ converge a 0 quando $ n \to \infty $. $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n+1} = 0 $$ Dato che 0 è contenuto in $ [0, 4] $, l'intervallo include il suo punto di accumulazione, dimostrando così che $ [0, 4] $ è chiuso.
Estremo superiore
Verifichiamo che anche l'estremo superiore, il punto 4, è un punto di accumulazione compreso nell'insieme. Consideriamo una sequenza di punti all'interno di $[0, 4]$ che converge al punto 4. Un esempio di tale sequenza potrebbe essere definita da: $$ x_n = 4 - \frac{1}{n} $$ dove $ n $ è un intero positivo. Questa sequenza $ \{x_n\} $ è chiaramente contenuta in $[0, 4]$ poiché ogni termine è positivo e inferiore a 4, ma si avvicina sempre più a 4 all'aumentare di $ n $. $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{1}{n}\right) = 4 $$ Poiché 4 è il limite di una sequenza di punti all'interno di $[0, 4]$ e la sequenza converge a 4 che è contenuto nell'intervallo, abbiamo mostrato che 4 è incluso in $[0, 4]$ come punto di accumulazione. Di conseguenza, l'intervallo $[0, 4]$ è effettivamente chiuso, poiché include tutti i suoi punti di accumulazione, compresi entrambi gli estremi 0 e 4.

In alternativa, basta provare che il complemento dell'insieme $ [0,4] $ è un insieme aperto per stabilre che l'insieme $ [ 0,4] $ è chiuso. In questo caso il complemento è l'unione degli insiemi $ R \text{ \ } [0,4] = (-\infty, 0) \cup (4, \infty) $. Per qualsiasi punto x all'interno del complemento possiamo dimostrare che $ (x-\epsilon,x+\epsilon) $ appartiene ancora all'insieme. Quindi, l'insieme $ (-\infty, 0) \cup (4, \infty) $ è un insieme aperto. Questo significa che il suo complemento $ [0,4] $ è un insieme chiuso.

Questi esempi numerici mostrano come operano le definizioni di aperto e chiuso nella topologia standard di $\mathbb{R}$, utilizzando intervalli specifici e valori concreti.