La partizione di un insieme
Sia \( A \) un insieme e siano \( A_1, A_2, ..., A_n \) dei suoi sottoinsiemi. Questi sottoinsiemi formano una partizione dell'insieme \( A \) se rispettano le seguenti tre condizioni fondamentali:
- Non sono vuoti: ciascun sottoinsieme \( A_1, A_2, ..., A_n \) contiene almeno un elemento. \[ A_i \neq \emptyset, \quad \forall i = 1, 2, ..., n \]
- Sono a due a due disgiunti: non ci sono elementi in comune tra due sottoinsiemi distinti. \[ A_i \cap A_j = \emptyset, \quad \forall i \neq j \]
- La loro unione coincide con l’insieme di partenza \( A \): ogni elemento di \( A \) appartiene a uno e un solo sottoinsieme. \[ A = \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \]
In altre parole, una partizione suddivide completamente l’insieme \( A \) in sottoinsiemi distinti, senza sovrapposizioni e senza lasciare fuori alcun elemento.
Vediamo in dettaglio cosa significa partizionare un insieme.
Esempi partizioni
Esempio 1
Considera l'insieme finito \( A = \{1, 2, 3\} \).
A partire da questo insieme puoi definire le seguenti partizioni:
La partizione data da \( A_1 = \{1\} \) e \( A_2 = \{2, 3\} \)
Come puoi notare tutte le condizioni della partizione sono soddisfatte.
Nessun sottoinsieme è vuoto $$ A_1, A_2 \ne \emptyset $$ I sottoinsiemi sono disgiunti, ossia la loro intersezione è un insieme vuoto. $$ A_1 \cap A_2 = \emptyset $$ Infine, la loro unione restituisce l'insieme di partenza $$ A_1 \cup A_1 = A $$
Un’altra possibile partizione è \( B_1 = \{2\} \) e \( B_2 = \{1, 3\} \).
Infine, l'ultima partizione possibile che puoi ottenere dall'insieme è \( C_1 = \{3\} \) e \( C_2 = \{1, 2\} \).
In tutti i casi, i sottoinsiemi sono non vuoti, disgiunti e la loro unione restituisce l’insieme \( A \).
Esempio 2
Considera l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali, puoi dividerlo in due sottoinsiemi:
L’insieme dei numeri pari: \( \{0, 2, 4, 6, 8, ...\} \) e l’insieme dei numeri dispari: \( \{1, 3, 5, 7, 9, ...\} \).
$$ A = \{0, 2, 4, 6, 8, ...\} $$
$$ B = \{1, 3, 5, 7, 9, ...\} $$
Questi due insiemi costituiscono una partizione di \( \mathbb{N} \) perché nessuno dei due è vuoto, non hanno elementi in comune (un numero è o pari o dispari, non entrambi) e la loro unione comprende tutti i numeri naturali.
$$ A \cup B = \mathbb{n} $$
Questo dimostra che puoi ottenere una partizione anche se gli insiemi sono infiniti.
Esempio 3
In questo esempio prendiamo come esempio un insieme di parole
$$ S = \{"gatto", "cane", "pesce", "elefante"\} $$
Puoi partizionare questo insieme in base a un criterio, per esempio il numero di lettere della parola:
- \( S_1 = \{"cane"\} \) (4 lettere).
- \( S_2 = \{"gatto", "pesce"\} \) (5 lettere).
- \( S_3 = \{"elefante"\} \) (8 lettere).
Anche in questo caso, i sottoinsiemi soddisfano i requisiti di una partizione.
$$ S = S_1 \cup S_2 \cup S_2 $$
Comprendere come suddividere un insieme secondo criteri precisi è essenziale in matematica, scienza e molte applicazioni pratiche.
Quindi, la prossima volta che suddividi un gruppo di oggetti in categorie distinte, ricorda: stai inconsapevolmente applicando il concetto matematico di partizione.
