Legge di annullamento del prodotto

La legge di annullamento del prodotto, detta in maniera semplicissima, afferma che:

Se hai due numeri, chiamiamoli \(a\) e \(b\), e il loro prodotto è zero, cioè: $$ a \cdot b = 0 $$ Allora,  \(a = 0\) oppure \(b = 0\), o entrambi.

In simboli, si scrive così:

$$ a \cdot b = 0 \quad \text{se e solo se} \quad a = 0 \ \text{o} \ b = 0 $$

In parole povere: se moltiplichi due numeri e il risultato è zero, almeno uno dei due deve essere zero.

Perché? Perché qualsiasi numero moltiplicato per zero diventa sempre zero. È una regola universale.

Ad esempio:

• Se hai \(5 \cdot 0 = 0\), vedi? Uno dei due numeri è zero.
• Se invece hai \(0 \cdot 7 = 0\), stesso discorso: uno è zero, quindi il prodotto è zero.
• Ma se hai \(3 \cdot 4 = 12\), guarda un po', non è zero perché nessuno dei due è zero!

In breve, se moltiplichi due numeri e ottieni zero, vuol dire che almeno uno di quei numeri era zero.

Vediamo una applicazione pratica della legge.

Immagina di dover risolvere questa equazione.

$$ (x-2) \cdot (x+3) = 0 $$

In questo caso, se il prodotto (x-2)(x+3)=0 è uguale a zero, vuol dire che (x-2)=0 oppure (x+3)=0, o entrambe.

Per risolvere questa equazione ti basta trovare i valori che annullano i fattori.

Il primo fattore (x-2) si annulla quando  x=2

$$ x -2 = 0 $$

$$ x - 2 +2 = 0 + 2 $$

$$ x = 2 $$

Il secondo fattore (x+3) si annulla quando x=-3

$$ x +3 = 0 $$

$$ x +3-3 = 0-3 $$

$$ x = -3 $$

In conclusione, il prodotto (x-2)(x+3) diventa zero quando x è 2 oppure -3.

Questi sono i possibili valori che annullano un fattore e, indirettamente, il prodotto tra i fattori.