L'algebra lineare

L'algebra lineare è una branca della matematica che studia i concetti di vettori, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari.

Questa disciplina fornisce un insieme di strumenti che ti permettono di descrivere e manipolare entità geometriche e funzioni in maniera algebrica, spesso attraverso l'uso di matrici.

È utilizzata in diverse aree della matematica e delle sue applicazioni, inclusa l'ingegneria, la fisica, l'economia e la statistica. Nell'informatica è' usata nello sviluppo degli algoritmi di grafica computerizzata, nell'analisi dei dati e nell'apprendimento automatico (machine learning).

Ecco alcuni concetti chiave dell'algebra lineare:

• Vettori
  Sono entità matematiche che hanno sia grandezza sia direzione. Possono essere rappresentati come array di numeri, che definiscono come si sposta da un punto all'altro nello spazio.

  Esempio. Un esempio di vettore in uno spazio tridimensionale è il seguente $$ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} $$ Questo vettore ha tre componenti, che rappresentano rispettivamente le coordinate nello spazio lungo gli assi x, y, e z. In questo caso, il vettore v indica un punto nello spazio che ha 3 unità lungo l'asse x, -2 unità lungo l'asse y e 5 unità lungo l'asse z, partendo dall'origine (0, 0, 0). Questo è un esempio base di come i vettori sono utilizzati per rappresentare posizioni o direzioni nello spazio.

• Spazi vettoriali
  Sono collezioni di vettori (o altri oggetti) che possono essere sommati insieme e moltiplicati per numeri, noti come scalari. Uno spazio vettoriale deve soddisfare certe proprietà, come la chiusura alla somma vettoriale e moltiplicazione scalare.

  Un esempio classico di uno spazio vettoriale è R², lo spazio dei vettori a 2 componenti con valori reali. E' lo spazio dei vettori bidimensionali, che possono essere rappresentati come punti o frecce nel piano cartesiano. Ogni vettore in R² ha due componenti, che corrispondono alle coordinate lungo gli assi x e y. $$ \mathbb{R}^2 = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} $$ In questa notazione, lo spazio R² è definito come l'insieme di tutte le coppie ordinate (x,y), dove x e y sono numeri reali. Questo spazio vettoriale include importanti proprietà come la chiusura sotto l'addizione di vettori e la moltiplicazione di vettori per scalari, che sono requisiti fondamentali per qualsiasi spazio vettoriale

• Applicazioni lineari
  Le applicazioni lineari, spesso chiamate anche trasformazioni lineari, sono un concetto fondamentale nell'algebra lineare. In termini semplici, un'applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di vettori per uno scalare.

  Esempio. Le applicazioni lineari includono rotazioni, riflessioni, dilatazioni e altre trasformazioni geometriche che conservano l'origine e le relazioni lineari tra punti.

• Matrici
  Sono strutture quadrate o rettangolari di numeri, che possono rappresentare trasformazioni lineari. Le operazioni con le matrici, come somma, prodotto, la trasposizione, il calcolo del determinante e dell'inversa, sono centrali nell'algebra lineare. Il determinante di una matrice fornisce informazioni importanti sulle sue proprietà, come l'invertibilità. Gli autovalori e gli autovettori di una matrice sono centrali nello studio delle sue trasformazioni lineari.

  Esempio. Ecco un esempio di una matrice 3×3 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$ Questa matrice è composta da tre righe e tre colonne, con i numeri da 1 a 9 disposti in ordine crescente.​

• Sistemi di equazioni lineari
  Sono collezioni di equazioni lineari che condividono le stesse variabili. L'algebra lineare fornisce strumenti per analizzare e risolvere questi sistemi.

  Esempio. Ecco un esempio di un sistema di equazioni lineari: $$
  \begin{cases}
  x + 2y - 3z &= 7 \\
  3x - y + 5z &= -1 \\
  4x + y + z &= 3
  \end{cases}
  $$ Questo sistema comprende tre equazioni lineari con tre incognite (x, y, z). L'obiettivo è trovare i valori di x, y, e z che soddisfano simultaneamente tutte e tre le equazioni. Questo tipo di sistema può essere risolto utilizzando metodi come la regola di Cramer, la riduzione a scala di righe, o attraverso metodi matriciali.