Applicazione lineare

Un'applicazione lineare (o funzione lineare) è un tipo di funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di somma vettoriale e moltiplicazione per uno scalare.

In altre parole, se V e W sono spazi vettoriali, un'applicazione lineare f da V a W

$$ f: V \rightarrow W $$

è una funzione che soddisfa le seguenti due proprietà:

1. Additività
   per ogni coppia di vettori u e v abbiamo che $$ f(u + v) = f(u) + f(v) $$
2. Omogeneità
   per ogni vettore v e ogni scalare k abbiamo che $$ f(k \cdot v) = k \cdot f(v) $$

A cosa serve? Le applicazioni lineari sono fondamentali in molte aree della matematica, inclusa l'algebra lineare, l'analisi funzionale e la teoria dei gruppi. Sono anche alla base di molte tecniche in fisica e ingegneria.

Un esempio di applicazione lineare

Ecco un esempio pratico.

Consideriamo lo spazio vettoriale R² cioè il piano cartesiano e la seguente funzione f:R² → R² definita da

$$ f(x, y) = (2x, 3y) $$

Questa funzione prende un vettore nel piano e moltiplica la sua prima componente per 2 e la sua seconda componente per 3.

Verifica se f è un'applicazione lineare:

1. Additività
   Prendi due vettori arbitrari $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $$ Poi verifica se la prima condizione delle applicazioni lineari è soddisfatta $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = f[ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ] $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = f[ \begin{pmatrix} v_1+u_1 \\ v_2+u_2 \end{pmatrix} ] $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot (v_1+u_1) \\ 3 \cdot (v_2+u_2 )\end{pmatrix} $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = \begin{pmatrix} 2v_1+2u_1 \\ 3v_2+3u_2 \end{pmatrix} $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = \begin{pmatrix} 2v_1 \\ 3v_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2u_1 \\ 3u_2 \end{pmatrix} $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = f ( \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} ) + f ( \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ) $$ $$ f( \vec{v} + \vec{u}) = f ( \vec{v} ) + f ( \vec{u} ) $$ La prima condizione è soddisfatta.
2. Omogeneità
   Prendi un vettore arbitrario e un numero scalare arbitrario k. $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $$ Poi verifica se la seconda condizione è soddisfatta $$ f(k \cdot \vec{v}) = f ( k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} ) $$ $$ f(k \cdot \vec{v}) = f ( \begin{pmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \end{pmatrix} ) $$ $$ f(k \cdot \vec{v}) = \begin{pmatrix} 2 k \cdot v_1 \\ 3 k \cdot v_2 \end{pmatrix} $$ $$ f(k \cdot \vec{v}) = k \cdot \begin{pmatrix} 2 v_1 \\ 3 v_2 \end{pmatrix} $$ $$ f(k \cdot \vec{v}) = k \cdot f ( \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} ) $$ $$ f(k \cdot \vec{v}) = k \cdot f ( \vec{v} ) $$ Anche la seconda condizione è soddisfatta.

Entrambe le condizioni delle applicazioni lineari sono soddisfatte.

Pertanto, la funzione f() è un'applicazione lineare.

In termini pratici, questa funzione potrebbe rappresentare, ad esempio, una trasformazione del piano che "allunga" i vettori lungo l'asse x di un fattore 2 e lungo l'asse y di un fattore 3.